Вектори и линейни операции над вектори
1. Определяне на вектора (геометричен вектор) се отнася отсечка, т.е. сегмента с предварително определена дължина и посока.
Вектори се считат в равнина (двумерен) и в пространството (триизмерни). И в действителност, и в двата случая вектора се определя от наредена двойка точки, първият от които - в началото на вектора, а другият - в края на вектора. За вектори се използват символи. , , , Ако и съответно началото и края на вектора, този вектор е показано (Фиг. 1). Vector с начална точка и крайна точка се нарича обратна вектор.
Дължина или модул на вектор е число, равно на дължината на сегмента. представено с вектор. Вектори и имат един и същ модул.
Нулевият вектор е вектор, началото и краят е един и същ. Null вектор е означен. Модул нулев вектор е нула.
вектор Unit е вектор, чиято дължина е равна на един. вектор единица, чиято посока съвпада с посоката на вектора. Тя се нарича вектор единица и вектора е определен.
Две ненулеви вектори казва, че са равни. ако един от тях паралелно предаване може да се комбинира с друга, така че да съответства на началото и края (Фигура 2).
От гледна точка на вектор алгебра вектор не се променя, когато е паралелно изместване, докато поддържането на неговата дължина и посока, т.е. точката на прилагане на вектора може да бъде поставен във всяка точка на пространството. Такива вектори се наричат свободни.
Линейни операции на вектори се наричат операции на събиране, изваждане и умножение на вектор с число.
Прибавянето на два вектора може да се извърши като се използва правилото на успоредник. Ако отложи векторите и общия брой точки и се гради върху тях и върху страните на успоредник, вектора. идващи от общ произход в обратна връх на успоредник е сумата от тях (фиг. 3).
За да се конструира вектор сума не е необходимо да се изгради цялата успоредник. достатъчно е да се построи триъгълник. Формулиране на правила за определяне на размера може да бъде заменен от по-удобно.
Сумата от два вектора е векторът свързване на произхода на първия срок на вектора с втория край при условие, че в началото на втория срок е подравнен с първия край (фиг. 4).
Ясно е, че резултатът от допълнение не зависи от това къде в горния пространство на първия срок: промяната в цялата си триъгълник се прехвърля в паралел. Това правило се нарича вектор правило допълнение триъгълник.
Добавянето на много вектори. , , , извършва последователно: първо сгънато първи вектор с втората. След това им сума се добавя към третия вектор. След това се добавя към получената сума вектор и т.н. (Фиг. 5).
Веднага е ясно, че получава следното правило за допълнение вектор.
Polygon правило. Сума от няколко вектори е векторът свързване на произхода на първия срок на вектора с края на последния, при условие, че в началото на всяка следваща вектор е изравнена с края на предишния (фиг. 6).
Законите на допълнение вектор:
Разликата между двата вектора се нарича вектор. който, когато се комбинира с вектора позволява на вектора (фиг. 7).
Имайте предвид, че ако векторите и. отлага от общ произход, може да се изгради успоредник, един по диагоналите е сумата на векторите, а другият разликата.
Продуктът от броя ненулеви вектор е вектор (или), чиято дължина е равна. и посока съвпада с посоката на вектора. и срещу него на адрес.
Например, ако даден вектор. векторите и имат вид и усещане.
Законите на умножение на вектор с число:
От дефиницията на вектора на продукт от редица, следва, че всеки вектор може да бъде представена като вектор продукт на модул на единичен вектор на вектора.
Ако по-горе вектори. , , извършване на операциите на събиране, изваждане, умножение и от редица, в резултат на произволен брой от тези действия ще се превърне векторни видове
който е линейна комбинация от оригиналните вектори.
Вектори. , , казва, че е линейно зависим (линейно свързани), ако съотношението между:
където скаларни коефициентите не са нула.
Ако всички коефициенти са равни на нула, уравнението (2) ще бъдат удовлетворени, но това няма да се установи връзката между векторите. За вектори. , , Те казват, че те са линейно независими.
Концепцията за линейна независимост между вектори, използвани при взаимното разположение на алгебрични характеристики на векторите в пространството.
Определение 2 Две ненулеви вектори се наричат колинеарни (номинираните), ако те лежат на една и съща линия или паралелни линии.
Колинеарни вектори могат да бъдат еднакво насочени (вектори) или противоположни посоки (вектори (Фигура 8)).
Теорема 1. Две вектори са линейно зависими единствено и само ако те са колинеарни.
Следствие. Ако двама не са колинеарни вектори на равенството
След това и двамата трябва да бъде нула коефициент.
Определение 3 ненулеви вектори се наричат в една равнина. ако те се намират в една и съща равнина или в успоредни равнини.
Всеки две вектори винаги копланарни. и три вектори могат или не могат да бъдат в една равнина.
Теорема 2 Трите вектори са линейно зависими единствено и само ако те са в една равнина.
Въвеждането на вектор като линейна комбинация от вектори и (3) е разлагане на равнината на две noncollinear вектори.
Да разгледаме произволен вектор и три не-копланарни вектори.
Теорема 3. Всеки вектор еднозначно разлага на три не-копланарни вектори. т.е. Тя представя като
От (4) следва, че всеки вектор в пространството на четири линейно зависими.
Некопланарни подредени тройна (линейно независими) базисни вектори, наречени вектора в множество геометрични пространство. Скаларни коефициенти са еднозначно определени и се нарича вектора координира спрямо основата.
По подобен начин: noncollinear подредени двойка (линейно независими) базисни вектори образуват геометрични вектори в самолета. Коефициентите в (4) са координатите на вектор спрямо основата.