Условието, че граничната функция

6.4. Условието, че граничната функция

Според дефиницията на граница на функция (Sec. 6.1), така че граница е (х) функция е (х), XX. трябва да се за всеки хп последователност x0. xnX. п = 1, 2 съществува извън е (хп) и те са равни. Нека покажем, че второто условие следва от първия. Това означава, че ако не е поел равенство на тези граници, и ако се приеме само съществуването им, могат да докажат своята равенство, а оттам и съществуването на граница функция. По-точно, ние доказваме следната твърдение.

Лема 2. За да F функция (х), XX. има краен или безкраен лимит, определен характер в tochkex0. който е крайната точка на безкрайност или докосване mnozhestvaX. необходимо и достатъчно. всяка posledovatelnostixn x0. xnX. п = 1 и 2. Последователността на съответните стойности на функцията F (хп)> имат граница (краен или безкраен решена характер).
Необходимостта от условията за съществуването на е (х) се съдържа в дефиницията на граница функция (вж. (6,4)), който гласи, че F на граници (хп) за всички условия в лема последователности хп>.
Нека докажем достатъчността на това условие за съществуването на граница функция.
Нека x'n x0. х "п x0. x'nX. х" NX. п = 1, 2, и има ограничения F (x'n), е (х "п). Ние показваме, че те са равни. Нека

и и последователности са последователности .
Поради наличието на ограничение на последователност (краен или безкраен) предполага съществуването на същата граница от всяка последователност, ще трябва

Следователно, границите на F последователности (хп)>, където хп x0. xnX. п = 1, 2 не зависят от тези последователности хп>. Обозначаващи границите стойност последователности е (хп)> чрез. ние получаваме е (х) = а.