Тензор смятане за манекени

Проучване на общата теория на относителността (и специално - на адекватно ниво) затрудни специален математически апарат: тензори. Вярвам, че с тензори ви лошо? Мътна тема ...

Тук съм се опитал да даде основна информация, която трябва да помогне да се разбере физическите текстове. Предполага се, че читателят има опит в рамките на Техническия колеж, нещо от Института по математика помни (и на физиката, също). Но училище, разбира се, за съжаление, не е достатъчно.

Очаква се, желанието за приемане на нови нагласи, нов необичаен подход. Или просто желание да се разбере. Тъй като това ще отнеме доста голямо количество от пренастройване на мозъка!

Читателят няма да намерите тук заради по строгост и пълнота, оставете ги да математиците. Исках да се въведе темата възможно най-много достъпни - както сега се казва, за "манекени". Уви, на самия обект е сложно, и прави грешка този, който решава какво можете да научите от материала, не притеснява собствени работни мисли.

Илюстрациите са дадени и широко използване на тензори в някои части на теоретичната физика. Те са по никакъв начин не следва да се счита за изчерпателен отчет на физическото - всъщност, има уроци!

Въведение в

Пишем примерен известен юридическия факултет формула на Нютон със сила и ускорение вектори:

Разбира се, можем да го разглеждаме като абревиатура от три уравнения:

В действителност, има и още нещо. Първото уравнение - това е инвариант рекорд. За разлика от не-инвариантен форма. всички компоненти на векторите. Какво означава това?

Инвариантна форма не се променя при преминаване към други координати. Докато F х. F у. F Z. а х. на база. на Z в зависимост от получените координати.

Запис на физически уравнения в инвариант форма е по "правилните"! Тъй като законите на природата не могат да зависят от произволно, случайно избора на координатна система. Между другото, инвариантата форма не съдържа изрична информация за измерение (включително измервания) пространство - това измерение трябва да се подразбира друго.

Досега сме успели да запишат инвариант умножение на вектор с коефициент от м. Не много, изглежда ... На другите дейности (като например скаларна продукт) вече имат трудности. Особено, когато векторите да преминем към по-сложни обекти. Тя изисква специални техники. И те трябва да се научат.

Тензор - което отговаря на три точки:

1) е математическо представяне на обект (геометричен или физически), съществуваща в пространството под формата на таблица стойности - тензорни компоненти;

2) Стойностите на компоненти зависят от координатната система приет и модифициран (изчислена) при прехода към други координати;

3) компонент превръщане е такава, че листата, обаче, някои специални постоянна величина - инварианти.

По този начин, тензор е таблица, или матрица от цели числа (компоненти, в зависимост от избрания Ko

ордината). В същото време, задачата на тензор смятане - да се разработи форма на тензорни записи може да разчита на масите на компонентите. Това означава, че инвариант форма. който

обаче, ви дава възможност да записвате (инвариантни) операции на тензори.

Да започнем с това вектор

Специфичен пример е векторът и тензор. който обичайно вижда нещо, пръчки, заточени в единия край. С всички комикси такова представителство, е до известна степен дори полезно. Ясно е, че векторът е едно парче, самостоятелен обект. Независимо от това как ние представляваме математически.

принципа на почтеност като цяло всеки тензор може да изглежда тривиално ... Но ще видим, че от него произтичат специално разследване.

Както и да е, а ние се отбележи, че векторът е обективен дължина.

Vector разглежда в пространството. Пространството се характеризира с броя на измерванията. определен за даден клас проблеми.

Ние нямаме съмнение, че в пространството на векторни операции са въведени: добавяне на вектори и умножение на вектор с число.

В три измерения, помисли за преместване от точка А до точка В. Това обикновено е представена от вектор, т.е. насочена отсечка от А до Б. Това се нарича изместване вектор х (правилна геометрична вектор). Въпреки това, като се смята, че векторът не променя паралелен трансфер.

Очевидно е, че с добавянето на преместването - полученото преместване (вектор размер) се определя по правило известен успоредник.

Трябва да бъде в състояние да произвежда с нашия обект (вектор) операция - използване

вектор алгебра. За тази координатна система се въвежда. или основа.

В пространството (за момента ние го приемем за триизмерен), ние избираме три вектора д 1. д 2. д 3. Това ще бъде вектори на единица продукция. или пристанища. Задължително условие: нелинейни портове

зависим. Това означава, че нито един от тях може да бъде представена като линейна комбинация от останалите (това ще бъде, ако трио вектори лежат в една и съща равнина).

Лесно е да се покаже, че всеки вектор х може да бъде представен под формата еднозначно: E 1 х х 1 х 2 х 3 е 2 д 3. т.е. като линейна комбинация на базисни вектори. коефициенти

(1 х х х 2. 3) е компонент на вектора х в получената основа. Ако предпочитате, можете да се обадите на техните векторни координати.

Забележка: горни индекси - това е не експонатите и индекси просто! След това през цялата първа степен, защото ние правим чисто линейни трансформации.

Като се има предвид представяне на елементите на вектор ще често наричани означен от вида: (х 1 х 2 х 3), или, накратко, х аз.

Всички помни, разбира се, че операцията с векторите са представени в координати като: х у (х 1 Y 2 х у 1. 2. 3 х Y 3) - добавяне на вектори

а х (брадва 1. брадва 2. брадва 3) - вектор умножаване с номер.

Тензор е таблица на стойностите, и вектор, по-специално - както добре. Така че, за тях това е естествено матрично представяне, понякога е удобно да се направи. Разбира се, векторът е матрица колона и матрица ред. По този начин, вектор х I (х 1 х 2 х 3) матрица може да бъде представен чрез:

Полезно е да се припомни, поне основните понятия, свързани с матриците - те продължават да бъдат полезни.

Отбелязване не матрици ентусиазирани читатели. Но те са необходими само на етапа на предпроектни проучвания, а в действителност въпросът е да се направи без тях.

Що се отнася до други координати

Ако изберете друго основание (например, завъртете координатни оси), векторните компоненти се променят. Разбира се, нови компоненти (х "1. х" 2. х "3) могат да бъдат изразени чрез prezh-

на (х 1. х 2. х 3), ако знаем ъглите на оси на въртене. Задачата изглежда е доста тромава, задължително и косинус ... Като цяло, тъй като е проста:

Въпреки това, той още не е ясно какви са факторите, които ... Но добрата новина е, че ние няма да сме тук, за да се чудят за специфичните изрази. Достатъчно е да се има предвид, че те съществуват и са известни (те могат да бъдат отстранени или взети от литературата).

Важното: всеки обект, чиито компоненти се превръщат в съответствие с (1.1) е вектор. И ако не - това не е така. Въпреки, че той е представляван от три числа!

Забележка: Ако по някакъв координатна система, всички компоненти на вектора са равни на нула, те нула във всяка друга система! Същото важи и за всички тензори.

Дължината на вектора в декартови координати

Ако имаме декартови, която е ортогонална (или по-точно - ортонормирана) координатна система, дължината на геометричната вектор х (неговата квадрат), се изразява по отношение на компонентите в конвенционален начин от Питагоровата теорема:

х 2 (х 1) 2 (х 2) 2 (х 3) 2.

Deuce от уравнението тук представлява експонентата вече, разбира се.

При преминаване към друга база, когато стойностите на компонентите се променят, дължината трябва да остане същото. В края на краищата, той всъщност атрибут на вектора! В нашето споразумение, то не може да зависи от избора на координати. Те казват, че продължителността на прехода е инвариантна по отношение на други координати; вектор е инвариантен.

По същество той определя изискванията за преобразуване формули координатните, т.е. до самата матрица IK коефициенти. техните стойности не могат да бъдат произволни!

Вероятно още от училище, които обикновено потънал в паметта: стойности са разделени на скаларен и векторен; всичко, което не е вектор, скаларната.

смятане тензорът също е скаларна тензор (най-лесно - нула ранг).

Това число е инвариант, не се променят с другите координати. приложим

нето на вектора, дължината му - класически скаларни. На следващо място, ние се научаваме, че Scalars са получени като краен резултат от извивките на тензори.

Всеки от компонентите на вектора - брой. И не скаларна вектор ... Но той също не се счита: защото тази стойност не е нормално.

Позволете ми да ви напомня за концепцията за скаларно произведение на два вектора. То се изразява по отношение на координати, както следва:

XY х 1 Y 1 х 2 г 2 х 3 г 3.

Строго погледнато, дължината на площад вектор - това е просто си скаларно произведение

на (т.нар скаларна квадрат).

Забележка: ние приемаме, че има скаларно произведение, и има някои забележителни качества! Това място се нарича евклидово.

В скаларен продукт е инвариантен (като всеки скаларна). В крайна сметка, има геометрична смисъл, независимо от представянето на координатната: продуктът от дължините на векторите и косинус на ъгъла.

Сега сте подготвени за да се разбере смисъла, в който се говори за инвариант

antnosti вектор, а всъщност всеки тензор. Идеята, че тензора е нещо, холистичен

Ним, води до изявление на своя инвариантност при преобразувания на координати, като се има предвид всички неща, които вече познавате.

Разбира се, засегнати са все още въпроси, изглежда тривиално, общи познания. Но сега - важно предупреждение. Следващата точка, въпреки че заслепени от (елементарни всъщност), изисква внимателен прочит на той ключ към разбирането на всичко.

Правоъгълна координира такъв е случаят все още е специален. Системата за координиране може да бъде, например, наклонени (не ортогонални единичен вектор). Ясно е, че формулата на квадрата на скаларна ще бъде по-сложно, отколкото (1.2). Въпреки това (и тук отново добрата новина!), Ние сме не ще да го оттегли. Достатъчно, за да пиша в общи линии:

х 2 грама 11 (х 1) 2 грама 22 (х 2) 2 грама 33 (х 3) 2 грама 12 х 1 х 2 грама 13 х 1 х три грама 23 х 2 х три грама 21 х 2 х 1 грама 31 х х 3 1 х 32 3 грама х 2.

Защо това? Да, точно от пространствени съображения - е квадратна форма! Някои фактори, гр ИК зависи от спецификата на координатна система.

Разбира се, вие може да донесе подобни термини, и условията тогава ще 6 и 9, не са ... Но ние, напротив, изрично се въведе от симетрия г ик ж ки. така че ще бъде по-удобно.

Сега можем да пиша едно и също нещо малко по-различно:

х 2 (г 11 х 1) х 1 (г 22 х 2) х 2 (г 33 х 3) х 3 (г 12 х 1) х 2 (г 13 х 1) х 3 (г 23 х 2) х 3

Изненада: формула (1.3) ние сме запознати с - отново скаларен продукт! В случай на декартови координати е квадрата на скаларен продукт същото. И тук, за най-общия случай - скаларната продукт на вектор х аз за ... какво? В друг вектор х I (х 1 х 2 х 3). Тя се нарича covector. т.е. двойната вектор.

Covector също е вектор - факт, обикновено не е ясно ... Въпреки това е. Заради работата си с вектор на - скаларна (скаларна площад). Като цяло линейни операции с тензори доведат до тензори същите!

Но нека: (1.4) също така знаем, че формулата на координатна трансформация, да ги сравни с (1.1). Оказва се (изненада отново) covector - не е по-различно, но по същия вектор х. Но само, представени в някаква друга координатна система (наречена понякога двойно).

Значи вие се запознахте с основната трик на тензор смятане.

И това, което правят

Ясно е, че и в двете изображения са ортогонални базисни вектори X и и х и са еднакви (т.е.

има идентични компоненти). Dual координати система тук е просто съвпада с главницата. И само в най-общия случай компонентите ще се различават.

Но след това, изглежда, по-горе конструкция, макар и любопитни, но не е необходимо. Просто се съгласявате да използвате декартови координати!

Уви, това не винаги е възможно. Например, в извити пространства преминаване мрежа от паралелни линии не може да бъде навсякъде под прав ъгъл. Те не могат да съществуват паралелни линии! (Да разгледаме като пример двуизмерния повърхността на сфера, където "линии" са големи кръгове). И като хитър пространство срещат по физика.

Секции още чакат пред вас, просто се съсредоточи върху използването на апарата тензорен в някои области на физиката.

1-2. Основни понятия на тензор смятане

В края на предходния раздел, ние намерихме начин да напише неизменна (скаларна квадрат) в непроменящо форма. В действителност, ни формула х 2 х 1 х 1 х 2 х 2 х 3 х 3 - в lyu-

битка координатна система изглежда по същия начин - не забравяйте нашите две изненади? Трансформиране на координатите, че има ... но няма значение колко скрити. След това, ние трябва да се уверите, че в по-сложни случаи са също така лесно да се постигне проста форма за записване. В тази простота и е основната идея.

Въпреки това, такъв видима опростяване се постига за сметка на въвеждане на различни видове представяне на същия вектор. Това е точно това, което определя различно разположение на индекса: горната или долната - Те се наричат ​​contravariant (И вие вероятно се чудите защо?)

Ной и covariant представяне.

Covariant и contravariant

Един и същ вектор може да се запише в covariant и contravariant в

-invariant компоненти. Обикновено, някои от тях са в процес на разглеждане на природните вектори. Това е валидно в тези координати, които са присъщи на тази задача.

Координати геометрична вектор (вектора на движението) са Естествено

правителствен contravariant. Contravariant вектор означен под формата на х и. това е, с индекса на върха.

contravariant векторни компоненти се променят като обратна промяна на базисни вектори (оттук и името). Ето един пример за това примитивно обяснение. Да предположим, че ние се движим от една координатна система в друга - такава, че:

х "KX 1 1. х" х 2 х 2 "3 х 3 (к 1).

Казано по-просто, ние сме се променили обхвата на първата ос, което го прави по-малък. нов

единица за дължина по оста е намалял, и е един от най-старите. Съответно НО- к

Vai компонент на вектора, а напротив, се увеличава с к пъти - като че ли оста противоположния мащаб. Това е contravariance.

За covariant вектор обратното ... Но ние ще разгледаме по-долу.

Докато един и същ обем вектор може да се запише в covariant форма: х аз. Нейните covariant компоненти х 1. х 2. х 3 - това не е основата на нашия проблем. А

по някакъв друг (двоен) координатна система. Ние просто знам как да го движите: чрез коефициентите на гр IK. И тъй като този преход да се има предвид, ние го остави зад кулисите.

Тензор смятане е роден в средата на ХIХ век, но това не е много на мода. Неговата истинска признание е получил във връзка с общата теория на относителността на Айнщайн, който не може да се каже по друг начин освен в тенсор форма.

правило на Айнщайн позволява още по-лесно влизане на много от тензорни изрази.

В съответствие с това правило, изразът за скаларната площада е писано компактно:

х 2 х 1 х 1 х 2 х 2 х 3 х 3 х и х аз.

Правилото е, че индексът, настъпва два пъти (веднъж на върха и веднъж в долната) сумиране. Това означава, че аз б аз - това е просто съкратен

Влизане израз: а аз б аз. Тук индексът I (стойности 1, 2, 3) е тъп:

в резултат на експресията той не е бил включен - като че ли "да отпадне." В такива случаи ние казваме, че извивките извършва. Подробности за това ще бъдат по-ниски.

За covariant вектори

В пространството, определено скаларно поле. Построява частични производни:

Ето, к е сляпо индекс (който не попада в резултата).

2) г ик е символ covariant тензор от ранга. второ -

защото двата индекса. Covariant - защото индексите по-долу. И в долната част, защото има едно правило: Дублиране индекси трябва да се редуват (горе - долу). При комбиниране на covariant и компонентите на contravariant превръщането им взаимно закони "намалява."

3) Резултатът е covariant вектор (I по-долу), тъй като полето индекс и е covariant.

4) Броят на размери на пространството (броят на стойности, а именно чрез индекса на сумиране) са ясно видими и трябва да се подразбира от контекста на проблема.

5) Съответно, под (1.5a) ще се разбира, че три формули I 1, 2.3:

Но това е все едно останки зад кулисите като noninvariant форма, от които можем КИА

операция тензор. продукт

Може би според компонентите, добавяне на тензори на една и съща структура, умножаването на броя на - в този конкретен няма да се забави. Тензор пространство, както в случая с вектори, линейни вярваме, че е в резултат на тези операции ще бъде отново тензор.

Като цяло, ние трябва да се има предвид, две основни операции с тензори: над-

умножение на навиване. Тези операции водят до над тензори тензори същото.

Ето илюстрация на тензор продукт: