Техники, които изчисляват сумите безкрайни поредици

В магазина е безкраен брой математици. Първият попитах за един килограм захар, втората - половин килограм, третата - тримесечие на килограм.
-Така! - прекъсна продавача - Вземи си два килограма и да го няма.

Така че на първия въпрос следва да се счита - защо сумата от +% 2B + \ Фрак +% 2B + \ Фрак +% 2B + \ Фрак +% 2B + \ Фрак +% 2B + \ точки "> е равно на две.

Нека докажем този факт по два начина.

При първия метод, по принцип не е необходимо да се работи с безкрайни последователности, така че може да се докаже, дори и в класове 6, веднага след като научи градуса.

Добави към двете страни на фракцията "> Извличане .:

След свива сумата на две фракции, всяка от които е равна на> ">:

Количеството ще бъдат прекратени от десния край, като поредица от домино. Тя завършва този израз:

Разбираемо е, че колкото по-голям п, толкова по-ниска S ще бъде различен от две.
За решаването на втория начин отново въведете желаната сума
+% 2B + \ Frac +% 2B + \ Frac +% 2B + \ Frac +% 2B + \ Frac +% 2B + \ точки ">

В изважда първото уравнение във втория:

Всички условия, с изключение на първата, се унищожават, а ние ще получат:
= 1 ">

Този метод се използва в обща форма за получаването на сумата на геометрична прогресия.

Така че, първата ни резултат днес.

Но основният въпрос е как да се мисли на този закон? Оказва се, че ако в знаменателя е продукт, това е сумата на фракции, чиито знаменатели са фактори на травми, настъпили в тази работа.

В този случай,

Намерете тези А и Б, като намалява количеството обратно към общ знаменател:
+% 2B + \ Frac = \ Frac ">

Номератори трябва да са идентично равни, следователно,
A + B = 0 и А = 1.

Следователно B = 1. Следователно, ние се получи равенство:

Този подход се прилага и когато знаменателите са по-сложни продукти.

А сега да разгледаме това, което ще дойде, ако знаменателят ще бъде с мощност от две, а числителят - последователните естествени числа. (Подобен проблем се повдига в статия за механично генератора на случайни числа.)
Намерете сбора
+% 2B + \ Frac +% 2B + \ Frac +% 2B + \ Frac +% 2B + \ Frac +% 2B + \ точки ">.

Това може да се извърши по два начина. В първата означаване на необходимата сума като S, намерете си половина и се изважда половината от цялото:

Вторият метод е малко по-дълго, но това е изграден върху идеята за не по-малко красиви.
Пишем сума под формата на триъгълник:

Така че необходимото количество се +% 2B + \ Frac +% 2B + \ точки = 4 ">

Достатъчно за днес. Един поглед към една седмица, че би било, ако третата сума в числителя ще отидат Числата на Фибоначи като Ойлер се оказа, че сумата на обратните квадрати е равен на една шеста от квадрат на пи, и защо хармоничните серии се отклонява.