Свързване и линейна връзка в топологично пространство - ∀ X, Y, Z

Помислете за един сегмент от реалната линия "> с определен върху него стандартната топологията на недвижими линия. Ние също се предположи, че една топологично пространство)" >. След това последният се нарича линейно свързани, ако съществува продължително присвояване е за всеки две точки, които.

Да се ​​даде подгрупа. След това върху него естествено дефинирана топология _M ">, предизвикана" >. Ако пространството _M \ вдясно) "> път свързан, а след това на подгрупата се нарича още път свързан.

Одобрение. В пространството "> свързаност и път свързаност съвпадат.

Нека подмножество на пътя-свързан, тоест, всеки двама от неговите точки могат да бъдат свързани с един сегмент. След това той е свързан в топологични смисъл.

Да приемем, напротив: на разединена, т.е. разлага на две не-припокриващи не е празна отворен (в индуцирана топологията) комплект. След това, тъй като там ,. Освен това, процедура разполовяване на сегмента. Ако вече сте били намерени, и да се делят на две нарязани. Средата се намира във или инча За следващия сегмент вземем дължината на краищата на които се намират в и извън. Има една точка, която принадлежи на всички сегменти, и по този начин спада към комплекта. В този момент на срока за двете последователност и да се. Point трябва да принадлежи на едно или и. И в двата случая, един от наборите съдържа друго ограничение точка или, че е, нейно допълнение, поради което един от тях отворен.

Обратното е вярно. Нека подгрупата на свързани, това е, не се разделя на две не е празна разединена отворен (в индуцирана топология) комплекта. След това всеки двама от неговите точки могат да бъдат свързани с един сегмент.

Да приемем, напротив: има две точки, така че. Това означава, че има точка, така че. След това, къде. Противоречие.

Одобрение. Да - топологично пространство. Ние показваме, че линейна връзка на връзката трябва да бъде.

Да приемем, напротив: много път, свързан но не е свързан, т.е., е разделен на две не е празна разединена отворен (в индуцирана топология) комплект. Тъй като има ,. Поради линейна връзка съществува непрекъснат път така, че ,. Пълен обратен изображение е представено като две непразно множество разединена отворен (поради непрекъснатост) комплекта (М)% 20 =% 20е ^ (А% 20 \ sqcup% 20В)% 20 =% 20е ^ (А),% 20 \ sqcup% 20е ^ ( Б) "> Но това е невъзможно, тъй като -. е свързан.

Одобрение. Нека ^ п "> -. Open набор набор е свързан единствено и само ако това е път-свързан.

На снимачната площадка на съотношение равностойност по следния начин. Точките се наричат ​​еквивалент, което показва, че, ако те са свързани по някакъв начин, т.е. налице е непрекъсната карта, така че. Можем да потвърдим, че това определение наистина определят връзка равностойност.

Поради това комплектът се състои от несвързани равностойност класове. Класът, която съдържа точката, означена с.

Ние показваме, които се отварят. Наистина, да предположим, че дадена произволна точка. С оглед на прозрачността има топка. Топката е изпъкнал, линейни и защото дори и в права линия е свързан. Всяка гледна точка свързан с преходност до точката през точка следователно, а оттам и отворен.

Доплащане е отворена и като празен или е на Съюза на другите класове, които също са отворени.

Ако приемем, че не е линейно свързана, а след това ще има не е празна отворени комплекти. Ние считаме, че на снимачната площадка е разделен на две nepersekayuschihsya, празни и отворени.

Така линейно свързан отворено множество може да бъде свързан.

Одобрение. Разнообразието на ^ п "> свързан единствено и само ако е пътека-свързани.

Представяме различни равностойност връзка, както следва. Точките се наричат ​​еквивалент, което показва, че, ако те са свързани по някакъв начин, т.е. налице е непрекъсната карта, така че. Можем да потвърдим, че това определение наистина определят връзка равностойност.

Вследствие на колектора се разделя на несвързани равностойност класове. Класът, която съдържа точката, означена с.

Ние показваме, които се отварят.

Да. Тъй като колектор, тогава има квартал, който се показва на хомеоморфизъм ^ н ">. В квартала има една топка, която се линейно свързани.

Да - да бъде произволна точка на топката. Той е свързан с път с една точка. Това означава, че има непрекъснато картата така, че и.

Повишаване на топката и произволна точка обратно към колектора, квартал, както и получаване на произволна точка.

Картографирането ще бъде по пътя, който свързва произволна точка в точка.

По този начин, всяка точка е свързана с точка през точка следователно, а оттам и отворен.

Доплащане е отворена и като празен или е на Съюза на другите класове, които също са отворени.

Ако приемем, че не е линейно свързана, а след това ще има не е празна отворени комплекти. Ние считаме, че сортът е разделен на две nepersekayuschihsya, празни и отворени.

Така линейно свързан колектор на ^ п "> не може да бъде свързан.