Steady разпределение на температурата в пръта

Steady разпределение на температурата в пръта.

Проблем 14. Краищата на хомогенна тънък дължина призматична прът се поддържа при постоянна температура площ и периметъра на напречното сечение на пръта са съответно атмосферния температурен коефициент на топлопроводимост на пръта, в зависимост от материала, коефициент на топлопредаване от сърцевината на околната среда Виж на стационарно състояние (т.е.. Е. не зависи от време), разпределение на температурата в пръта.

Решение. Ние избираме произхода в левия край на пръта, и насочване на х-оста на оста на прът (фиг. 34). Изолират безкрайно елемент на пръта между двете секции

Съгласно основния предположение теорията на топлинна проводимост, топлинният поток през елемент повърхност в посока Ox под зададената температура е пропорционална на квадрата на спад на скоростта и температурата по посока на х - температура

(Отрицателният знак се приема, защото топлината се разпространява от топлите части на пръта на по-малко се нагрява, така че, когато температурата Т в посока на х пада, т. Е. При обратно, когато Следователно, количеството топлина, което преминава през първата секция х за единица време е равно на напречното сечение ще премине през втория топлината Следователно, ако не е имало пренос на топлина в околната среда, тя ще се забави с количеството топлина към избраната елемент

Според закона на Нютон, количеството на отделената топлина от повърхността елемент при температура Т среда с температура по време пропорционално на площта (в този случай, времето и температурните разлики Това количество топлина за единица време е (ние вярваме прът толкова тънка, че предаването на топлина през кв краищата на пръта може да бъде пренебрегната ) и тя е равна на - изчислена по-горе Приравняването тези стойности една с друга, ние получаваме на диференциално уравнение.

Ако означим стигаме до уравнението Нейната обща разтвор (виж Пример 1, параграф 11 ..):

Произволни константи и определят гранични условия

и следователно, конкретно решение ще

В дясната част на mrzhno преобрази, да го доведе до общ знаменател:

Така Braz, температурата в пръчката се разпределя в съответствие със закона

Ние извършваме цифров изчисление. нека

Затова хиперболична функция на таблицата се

За тази функция, можете да създадете таблица и изготвя графика (фиг. 35).

Изследване на Т показва, че е поне по-малко загрява до края на пръчката. Въпреки по-високата стойност на, толкова по-силна ще бъде минимално.

При диференциално уравнение става

общото му решение е семейство от прави линии.

Да приемем, че температурата на околната среда и се изчислява количеството топлина, освободен от сърцевина среда за единица време.

лостов елемент отделя топлина в количество

и количеството на отделената топлина от всички на ядрото, както и

За решаване на проблема 15. Проблемът 14, при условие, че температурата в десния край не е зададен.

Решение. Ясно е, че по време на решаване на предишния проблемът остава непроменена до изготвянето на диференциални уравнения и да го решите. Разминаването се среща само в гранични условия, от които само един е запазена, а вторият да бъде определен. За тази цел, ние се изчисли количеството топлина, доставена до края на пръта - и това се равнява на топлината, излъчена

среда чрез частта от вала, ние имаме:

Това е второто условие на границата.

Ако сега се разграничи общото решение на уравнението и заместникът в изразяването на T и тяхната стойност в последния от граничното условие намираме връзката между познаването от първото условие граница, ние откриваме, от тази връзка и

Обикновено, пренос на топлина през края на пръчката се пренебрегва това се предполага незначителен в сравнение с пренос на топлина през страничната повърхност на пръта.

Това е еквивалентно на това през втората граничното условие, при което се смята, че тя е под формата:

От това уравнение намираме:

и оттогава специално решение има формата

Имайте предвид, между другото, ако смятате, че прът достатъчно дълго, той е много близо до единство.

Да приемем, че температурата на околната среда и да се определи температурата на десния край на пръта, т.е.. Е. В общо решение в този случай ще бъде

За да намерите най-произволни константи ispolzusm гранични условия:

Първото условие дава вторият -

Температурата в десния край на пръта се получава, ако в тази формула набор

Ние изчисли количеството топлина, освободен от прът по време на единица време. Очевидно е, че тя е равна на количеството топлина, което ще се проведе през това време през първоначалната част на пръта, както следва:

Ние извършваме цифров изчисление за решаване на следния проблем.

Задача 16. носещ вал постоянна температура в края на вала, която надвишава лагер

температура на въздуха при 60 ° С Изчисли часа топлина оттеглено по вал ако дължината на вала на диаметъра на вала раздел см, така че допълнително известно, че

Решение. Според формулата намерени в нашия случай, както и необходимото количество топлина

Проблемът на разпределението на температурата в пръчката е значително опростена, като се предполага, че прът semibounded, т. Е. има един край, например, лявата и дясната простира до безкрайност. В този случай, общото решение на диференциално уравнение

удобно да се оформя

и произволни константи могат да се определят от граничните условия

От второто условие е, че. В действителност, ако има такива, и множителя поради това е необходимо, когато това е възможно само, когато се обърна към първото условие, ние откриваме

По този начин, особено разтвор ще има формата

Този резултат може да се използва за решаване на следния проблем.

Задача 17. две дълги кръгли пръчки, една от които е малко по-дебел от друга страна, в единия край на температурата на прът се поддържа двете са изработени от същия материал и двете от получаване на топлина

температурата на околния въздух постоянно Кое ще бъде топло в единици разстояние с дължина от нагретия край?

Решение. Въз основа на предходното да имат право разпределение на температурата тънка пръчка

(Раздел Род периметър сечение където - радиусът), и за по-дебел прът, където радиусът на напречното сечение на дебел прът).

и го постави в същото време ги заменят чрез изражения

Така че, както експонат в дясната ръка е положителна. От това следва, че от дясната страна е по-голям от един; средства

т. е. на единица разстояние от загрява край температурата на дебел прът над температурата на разредител.