Разтворът на Шрьодингер уравнение на нестабилен в този случай има формата
Въведение в квантовата механика (продължение)
13.1 Шрьодингер уравнение безплатно частиците
Когато свободното движение на частица от нейната потенциална енергия
= 0, и скоростта на движение е постоянна. Ние насочва х-ос по протежение на вектора, и с подходящ избор на произхода на потенциалната енергия постави U = 0. След това стационарната Шрьодингер уравнение (12,11) е под формата:
Уравнение (13.1) е разтвор, който може да бъде представен в комплекс форма
където А и В - са константи.
Решение зависими Шрьодингер уравнение в този случай е, както следва:
Полученият разтвор е наслагване на две плоски вълни с ъглова честота, един от които се разпространява в положителна посока х-с амплитуда А. друг в посока, обратна на амплитудата В. От сравнението с формула (13.5) към плосък монохроматичен вълна следва, че редица вълна к е равно на свободни частици.
По този начин, свободната частицата в квантовата механика е свързан равнина монохроматичен де Broglie вълна.
13.2 Решението на стационарен уравнението на Шрьодингер за частици
в една безкрайно дълбока квадратен потенциал добре
Помислете за движение на частиците по посока на х. където движение е ограничено от стени непропускливи за частици: х = 0 и х = л. потенциална енергия U В в този случай е (ris.13.1):
Шрьодингер уравнение в този случай е, както следва:
Вероятността за намиране на частицата извън кладенеца е равна на нула, тъй като частицата не може да има безкрайна енергия. От условието за непрекъснатост на функцията вълна, която трябва да бъде нула, а на границата на ямата, разбира се. Д.
Фиг. 13.1
В района, където не е идентично нула, уравнение (13.3) е под формата:
Означаваме, след това (13.5) е под формата
Разтворът на това уравнение, както е известно, има формата:
И ние откриваме , с помощта на граничните условия (13.4) Условието (0) = 0, получаваме:
което означава, че = 0. условието (л) = А l грях = 0 имаме:
От (13.6) следва, че решението на уравнение (13.5) няма да има физически смисъл на всички енергии E, но само за стойности, които отговарят на условието:
Съотношение (13.7) показва, че различни от енергийната стойност на частиците Ennevozmozhny на: вероятността да намерите потенциал кладенеца в частицата с енергия, различна от En, е нула. Физични величини, които могат да вземат само определени дискретни стойности се наричат квантуват.
По този начин, енергията на частиците в потенциален добре е квантувани.
^ На квантовани стойности Epnazyvayutsya нива анергия и п номер. Определяне на енергийните нива на електрони, наречен квантово число.
За да се определи коефициента на използване състояние нормализиране на вълновата функция, която в този случай можем да запишем:
Интегралът в последния израз е. В резултат на това, идващи от.
Така, самостоятелна функция на частиците в безкрайно дълбоко потенциал и е от вида:
D
Rafiki плътността на вероятността за намиране на частиците на различни разстояния от стената на отвора при различни стойности на п.
Например, за да потенциален и с размери, съизмерими със стойност размер л атом
10 8 М и електронна енергия собствени стойности образуват последователност на нивата на мощността, разстоянието между които ЛЕ = En + 1 - En 1 ЕГ. Потенциалният кладенеца на макроскопични размери
1 см съседните енергийни нива са различни един от друг от
^ 13.3 хармоничен осцилатор. осцилатор енергиен спектър.
нулева точка трептения
Класически хармоничен осцилатор е с маса м. Окачен на пролетта. Ако насочва ос х и по протежение на оста на пружината като референтна позиция на топката ще се равновесие, силата, действаща върху топката F., ще бъде свързан с координатната х известни формула F = -kx. където к - пролет постоянна.
Потенциалната енергия на топката се дава от
Ако такова състояние топчета дисбаланс, ще изпълнява хармонични трептения с честота = (к / т) 1/2.
От (13.9), че кривата на потенциала на хармоничен осцилатор е парабола. Ето защо, проблемът с хармоничен осцилатор - това е проблем на поведението на частиците в потенциален извор на параболична форма.
За решаване на проблема на квантово-механичен генератор е необходимо да се намери окончателно, недвусмислено, непрекъснат и гладка разтвор на уравнението на Шрьодингер за U = -kh2 / 2, т. Е. уравнение
Точно разтвор на уравнение (13,10) дава следния израз за спектъра на възможните стойности генератор на енергия:
Това показва, че най-ниската енергия на осцилатора не е нула. Стойността на енергия осцилатор в п = 0
Тя се нарича "нулева енергия".
Quantum механични частици не може да "лъжа" в долната част на параболична потенциал кладенеца, както не може да лежи на дъното на правоъгълна, или всеки друг език на потенциалния кладенеца на ограничен ширина.
* Енергията на осцилатор е пропорционална на претенцията. Следователно, енергийните нива са на еднакво разстояние един от друг (еднакво разстояние).
За да "разклаща" осцилатора, трябва да добавите към нея енергия, равна на разликата в енергиите между съседните нива. Промени (например, увеличение) енергия осцилатор съответства на преходи между енергийни нива BG (означени със стрелки).
Фиг. 13.4 и - графики вълна функции. са разтвори на уравнение (13,10) за п = 0, 1, 2 и 6; заедно интервали х-ос, равно на два пъти амплитудата на класическата осцилатор с равен E Ен.
Фиг. 13.4, втора твърда крива показва кривите на разпределение на вероятностите плътност | (х) | 2 за една и съща квантово състояние честота, пунктирана линия - плътността на вероятността намерите класически осцилатор в близост до точка х.
б
Фиг. 13.4
Очевидно е, че при малки квантови числа п квантово-механичен осцилатор се държи по съвсем различен начин, отколкото класически. Шанс класическа осцилатор винаги е най-голяма за повратни точки, тъй като в тези точки, скоростта му е нула, и вероятността за квантово-механичен осцилатор е максимална в точките, съответстващи "antinodes» -функция.
Но за голяма п средната крива за разпределение на плътността на квантово-механичен осцилатор вероятността за добро съответствие с кривата на класическата осцилатор.
Трябва да се отбележи още един елемент от квантово-механичен осцилатор:
квадратна функция | (х) | 2Не нула за превръщането на точки (т.е. извън ограничаване движението класическа осцилатор ..).
^ 13.4 ефект тунел
Ако височината на крайния отвор, след това от "размиването" на вълновата функция на частицата (вж. Например, фиг. 13.4, б) има ненулева вероятност на частиците може да бъде разположен извън потенциал кладенеца.
Да разгледаме потенциал добре е показано на фиг. 13.5. Това изображение е различно от фиг. 13.1 Фактът, че областта, в която потенциалната енергия не е нула, заема тесен интервал от А до Б
Област и 5 N / m 2. температура T0 В = 273 К) реално поведение на повечето газове може да бъде достатъчно точно описан от закона за идеалния газ, но силни компресии ограничен молекулен размер води до забележимо отклонение на поведението на реални газове от идеален.
^ Базисното уравнение на молекулно-кинетичната теория на идеален газ
Разглеждане на количеството на газа в съда като куб (фиг. 1.1, а) и определяне на натиск върху неговата стена, например I. стена, перпендикулярна на оста х. В кинетичната теория на газовете, се приема, че налягането на газа в стената на съда се създава от еластичен сблъсък на газови молекули на стената. Теглата на всички молекули се считат еднакви и равни m0. Когато еластичният въздействие кинетичната енергия на молекулите се запазва, и следователно, запазена, абсолютната стойност на скоростта на молекула преди и след удря в стената. Когато еластичният въздействието под ъгъл към повърхността на стената (вж. Фиг. 1-1Ь) средната сила, упражнявана върху стената по протежение на оста Z от много сблъсъци на молекули е нула. Следователно молекула предаване импулс се извършва само в посоката на оста х (перпендикулярна на стената). х промени подпишат (ris.1-1b) проекция на инерцията по оста.
Ni означават броя на молекулите на единица обем, проекцията скорости са равни на оста х ± υix. Положителен проекция съответства на остър ъгъл между вектора на скоростта и посоката на оста и отрицателна - (. Виж ris.1-1b) тъп ъгъл. Когато броят на случаен движение на молекули, които имат както положителни и отрицателни проекция върху тази ос може да се разглежда като идентични и равна на Ni / 2. като движението във всички посоки с еднаква вероятност.
От разделени групи от молекули по време на интервал от време II t стена само с тези молекули достигат зоната S, скоростта на които са насочени към стената, и които са на разстояние от стената, непревишаваща υix t, или тези молекули, които са в обхвата V = Sυix t. След това общият брой на сблъсъци на молекули, съдържащи се в обем V. стената по време на t е:
Ако молекулата на въздействието на стената проекция импулс на оста х е равно m0υix щифт, след като стане равна (-m0υix)). Промяна на една молекула ki пулс, когато се удря в стената на молекулата е равна на импулса, който се предава на стената
Фигура 1.1
В резултат на удари всички молекули, които имат скорост проекция υix. пулс, предадена от стената, ще бъде равна на
За да намерите общата промяна в инерцията на всички молекули при удара му стена Kh в оста х. трябва да обобщим израза (1.12) за всички стойности на скоростите на молекулите, т.е. всички υix:
Умножение и деление на дясната страна на (1.13) за концентрацията на всички молекули в този обем, който е обозначен с п.
Стойността на дясната страна е средната аритметична стойност, или просто средната стойност на квадратен скоростта на проекция υix. които ще бъдат обозначени. Като се има предвид (1.14), изразът (1.13) под формата:
Налягането на стената по посока на оста х е равно на:
Сумата на средното квадратично скоростта на издатина е равна на квадрата на средната максимална скорост:
Заместването (1.19) в (1.18), ние получаваме:
. (1.20)
Формула (1.20) определя величината на налягането на газа на стената на съда. стойност на налягането може да се изрази по отношение на средната кинетична енергия на една молекула εk. За това се размножават и разделете на две от дясната страна на (1.20):
където :. Формула (1.21) се свързва налягането на газ от средната кинетичната енергия на молекулите на идеален газ. Тази формула се нарича основно уравнение на кинетичната теория на газовете.
Пример 1-1. Квалификация средно молекулно енергия и скорост на азот при нормални условия.
Масата на азот молекула може да бъде определена от отношението (1.8):
При нормална р налягане = 05 Октомври N / m 2 до 1 м3 газ, съдържаща п =
= 2,7 · 25 октомври молекули (брой Loschmidt). Според (1.21), средната кинетична енергия на молекулата е равна на:
скорост молекулно движение може да се изчисли по формулата: