Разширяване на серията Maclaurin на основните елементарни функции

Лекция 15. Тейлър серия.

Тейлър серия се нарича мощност серия от формата (приема се, че функцията е безкрайно диференцируема).

Maclaurin серия се нарича поредицата Тейлър с, има няколко.

Теорема. Поредица мощност е поредица Тейлър за неговия размер.

Доказателство. Да предположим, че серията власт се съсредоточава в интервала. Ние замести разширяването, ние получаваме.

От серията мощност клони равномерно във вътрешността на интервала на сближаване, ние можем да го разграничи мандат със срок. Получената поредицата ще се сближат в същия обхват, тъй като радиусът на сближаване не се променя по време на диференциация. Тя може да се диференцира мандат със срок за пореден път, и т.н. Ние изчисляваме коефициентите в серията мощност, получена чрез мандат със срок диференциация. =

, , ,

, , ,

Продължавайки този процес, ние се получи. Това - коефициентите на поредицата Тейлър. Ето защо, степенен ред е Тейлър.

Следствие. Разширяването на степенен ред е уникален.

Доказателство. Според предишната теорема, коефициентите на функцията за разширяване на серията власт са еднозначно определени, така че разширяването на степенен ред е уникален.

Пишем серия разширяването на Maclaurin основни елементарни функции чрез изчисляване на коефициентите на разширение на формулата къде.

,

(Интегриране на горната формула)

, .

Нека записано разширяване на серията власт. възниква въпросът дали това е винаги за разширение (мощност серия) клони към тази функция, а не за всяка друга.

Теорема. За Тейлър серия клони към функцията, за която е построена, е необходимо и достатъчно. към остатъка от формула Тейлър клони към нула.

Доказателство. Пишем формулата Taylor, известен от 1 семестър

Необходимост. Означаваме Sn - частична сума от поредицата Тейлър.

.

Ако поредицата Тейлър клони към тогава. Но формула Тейлър. Следователно ,.

Достатъчност. Ако и след това, и - частична сума от поредицата Тейлър. Ето защо, от поредицата Тейлър клони към функцията.

Теорема. Нека всички производни са равномерно оградено от отделна постоянна. След поредицата Тейлър клони към функцията.

Доказателство. Ние очакваме, терминът остатък от формула Тейлър

, тъй като експоненциална функция расте по-бавно от п. Следователно (от предходната теорема) Тейлър серия клони към функцията.

Като пример на теоремата, считаме експанзия в серия Maclaurin на функциите грях х, COS х. Тези редици се събират за изпълнението на функциите, тъй като техните производни са колективно обградени единство в цялата ос.

Разширяването на функция например х в интервала [а, Ь] всички производни на ограничено постоянна д б. така че поредицата за д х функция клони към това на всеки краен интервал.

Серия за функции SH Х, гл х може да бъде получена чрез линейна комбинация от експонати следователно серията ги събират на цялата линия на тези функции.

Помислете за разширяване на броя на функции. Да предположим, че серията клони към функцията. Възможно е, редица разграничаване мандат със срок, за да се установи валидността на (да го премахнете като упражнение). Решаването на този диференциално уравнение, получаваме.