Размерът на пространството за вектор

Размерът на пространството за вектор.

Един от най-важните инварианти вектор пространство е неговата измерение.

ОПРЕДЕЛЯНЕ. Размери ненулева ограничен двумерен вектор пространство е броят на вектори на пространство база. измерение нула вектор пространство се счита за равна на нула. Размерът на пространството за вектор е означен с

Пример. Нека - аритметика линейно пространство над полето вектори формират основата на пространството. Ето защо, ние считаме, някои свойства на величината.

СОБСТВЕНОСТ 3.1. Ако - двумерен вектор пространство и след това за всяка система за к пространство на вектори е линейно зависим.

Доказателство. Ако - нула пространство и имота е 3.1 писти.

Ако въз основа на пространството се състои от вектори. Чрез Следствие 3.3, следва, че когато всяка система за к пространство на вектори е линейно зависим.

Следствие 3.9. Ако вектори система пространство са линейно независими,

СОБСТВЕНОСТ 3.2. Ако - едно подпространство на крайно двумерен вектор пространство,

Доказателство. Неравенството (1), че е очевидно вярно, ако е налице нулев пространство. Ако подпространството е различна от нула, а след това (от Теорема 3.5) е ограничен и (от Теорема 3.1) има основа. Нека - основа на пространството. След това в пространството на система от вектори е линейно независими. Ето защо, изследването

ИМОТ 3.3. Ако - едно подпространство на крайно двумерен вектор пространство и след това

Доказателство. Следователно Ако подпространството е нула, тогава от състояние е - като пространство нула вектор. Ето защо,

Да предположим, че - по-различна от нула подпространство. След това е, както и, краен и, от Теорема 3.1, разполага с база. Да - нейната основа. След това, от предположение, следователно и на базата на пространството на системата. Ето защо,

ИМОТ 3.4. Ако краен двумерен вектор пространство е директен сумата от подпространства, а след това

Доказателство. По предположение, и следователно,

Ако или - нула подпространство, след уравнението (1) е очевидно вярно.

Да предположим, че - не нулев подпространство. нека

- основи на пространствата U и X респективно.

Ще докажем, че системата

Това е основание с оглед на (2)

Системата (6) е линейно независими. В действителност, за всеки от скаларни уравнение

С (7), на равенства

както и система (4) и (5) са линейно независими, от (8), която по-нататък, от (3)

т. е. система (6) генерира пространството така доказа, че системата (6) е в основата на пространството Следователно

Теорема 3.10. Ако вектор пространство е сумата на крайните двумерен подпространство, а след това

Доказателство. Да предположим, че

Ако количеството на (2) с права; Ето защо, от имот 3.4 теорема притежава.

Да предположим, че тогава пространството, както и U, е ограничен. нека

- основа за пространството. го удължи до основите на мишката. нека

- На базата на U и