Радикали - математическа енциклопедия - Енциклопедия & речник

пръстени и алгебри - концепция, първо се появиха в класическия структура теорията на крайните алгебра в началото. 20. Чрез Р. първоначално се разбира най-голямата nilpotent идеал за краен двумерен асоциативна алгебра. Алгебра нула R. (наречена semisimple) получен в класическия. пълно описание на теорията: всеки semisimple краен двумерен асоциативна алгебра е директна сума на проста матрица алгебра над съответните органи. Впоследствие е установено, че съществуват най-големите Nilpotent идеите на всички асоциативни пръстени и алгебри с минимално условие за ляво (или дясно) идеи, т. Е. Всички Артинян пръстени и алгебри и описание Артинян полу-пръстени и алгебри съвпада с описанието на ограничен Semisimple , В същото време е установено, че най-голямата R. nilpotent или разтворим идеал, може да се определи в много класове ограничен алгебра nonassociative (алтернативно, Jordan, Lie и др.). В този случай, както и в асоциативен случай semisimple алгебри са преките сумите на прост Lie врата-бодното специален вид.

Поради факта, че в повечето случай безкрайно nilpotent идеал не може да съществува, има много различни обобщение на класическата радикална Р. Baer, ​​Джейкъбсън радикален, Левицки, Kothe радикален и т.н. Най-честите от тях -. Джейкъбсън радикален. Те бяха въведени като R в известен смисъл за разлика от класическата. По този начин, например. Всички класически semisimple пръстени (т.е.. Д. Прякото сумата от пълните матрица пръстени) са радикални, в смисъл на редовен радикална Нойман и по наследство idempotent радикална Блеър. F. Изграждане на обща теория се инициира чрез С Amitsur [1] и A. G. Kurosha [2].

Общо радикална теория. Навсякъде в това, което казват само за алгебра (имаме предвид алгебра над произволна фиксирана асоциативен комутативен пръстен с единица); пръстени са специален случай на такива алгебри. При идеални за това, ако не е предвидено друго, то се отнася до двустранен идеал.

Да - врата-ING клас алгебри затвори при вземане homomorphic образи и идеали, т.е., съдържащ цялата алгебра на някое от идеалната си и всеки homomorphic образ ... И нека R - НЕК-много абстрактно собственост, за очи алгебра може или не може да има навън. Алгебра, R като свойство. R-д и л б е г о г. Идеален аз алгебра A се нарича. и г-г д е н о м ако е R-алгебра. Алгебра обади. R-полу ако тя няма ненулеви R-идеи. Те казват, че г е радикална имот в класната стая или в посочената група (в смисъл на Kurosh), ако са изпълнени следните условия:

(А) г-homomorphic изображение алгебра е г-алгебра;

(В) всеки алгебра Aklassa има най-голям R-идеално, т.е.. Е. идеал съдържащ всяко R-идеален това алгебра, и тази максимална R наречената идеален. R-радикал след това алгебра и е означен с R (А).

(В) отношението А / R (A) R semisimple.

Алгебра съвпада с неговата Робърт обади. радикален. Във всеки клас на алгебри и за всички е само радикал едновременно радикал и semisimple алгебра. Subdirect продукт на всеки набор от semisimple алгебра самата semisimple.

С всеки R, свързан към две подгрупи алгебри: Клас (R) на R-алгебри радикал и клас (с) на R-Semisimple. За всеки от тези класове е уникално R радикал (А) .За всеки алгебра Айше, а именно:

R-алгебра е радикал, ако и само ако не може да бъде показана homomorphic всяка ненулева R-semisimple алгебра.

Известни условия на подкласове, алгебра са необходими и достатъчни, за да се гарантира, че тези подкласове е класа на всички радикална или класове на semisimple Лъжата за всякакви RV си. Тези подкласове на алгебра се наричат ​​съответно радикални и semisimple подкласове.

Частичен подреждане на радикални класове за включване предизвиква частична поръчка от класа на всички RV си. А именно, като се смята, че. ако (R1) включва (R2) (и в този случай, както и (R1) включва (r2)).

За всеки подклас Mklassa дъното радикал клас L (М), генерирани от М-клас се нарича. радикал малкия клас съдържащ M и съответния R е т.нар. нисш радикал дефинирани клас М. горната класа и радикал (т), специфичен клас М, се нарича. най-радикал клас, по отношение на P. притежавани до всички алгебра на Mpoluprosty (R. Това се нарича. отгоре радикал дефинирани клас М). За всеки клас Mnizhny радикал клас L (М) .Има е. Ако - клас асоциативни алгебри, горната R. за всеки подклас М.