Първите за диференциални уравнения (р

Диференциално уравнение е уравнение, което се отнася независима променлива х, у функция на неизвестно (х) и производно на желаната функция.

Символично диференциално уравнение може да се запише като

Файл тук е функция у. Въвеждане на символи производни (или диференциали).

Ако неизвестна функция у (х) е функция на една независима променлива, диференциално уравнение се нарича обикновено. В тази глава ще разгледаме само обикновени диференциални уравнения.

Поръчка диференциално уравнение е най-високата цел за деривати, включени в уравнението.

Например, уравнението е уравнението на първия ред,

и уравнението - второто уравнение ред.

Разтвор на диференциално уравнение е функция у (х), че е субституиран в уравнението, той привлича за самоличност. Решението също така наречен неразделна диференциално уравнение.

Функция е решение на това уравнение.

В действителност,

и уравнението става за самоличност:
.
Решението на уравнението въпросната ще функционира

и като цяло функции
, където - произволни константи.
В действителност,

и уравнението става идентичност
.

Имайте предвид, че уравнението има безкраен брой решения на формата :.

Решение на диференциални уравнения от първи ред

Първо, за диференциално уравнение е уравнение, което се отнася независима променлива х, у функция на неизвестно (х) и първата производна цел на желаната функция.

В диференциално уравнение от първи ред е даден.

Общи и специално решение

Общият разтвор от първи ред диференциално уравнение е решение, което зависи от една произволна константа С като специфична стойност, която може да се получи разтвор, който удовлетворява даден първоначално състояние.

Тип на половете косвено определяне на общо решение, наречена обща неразделна диференциално уравнение.
Имайте предвид, че на практика най-често не отговарят на общото решение, и така наречената частично решение, което отговаря на специфичните начални условия, произтичащи от условията на този конкретен проблем.
Особено разтвор е функция, която е получена от общия разтвор, ако последната произволен постоянен С до получаване на специфична стойност. Съотношението, посочено в този случай, особено интеграл.
Проблемът за намиране на решения на диференциални уравнения Y I = F (х, у). дадени първоначалните условия отговарят у (оксо) = йо. Той призова проблемът Коши.

Коши теорема
Ако F функция (х, у) - дясната страна на диференциални уравнения Y I = F (х, у) - непрекъснато в затворен домейн D XOY равнина и е в областта, ограничена от частичния производно е Iy (х, у), след това всеки вътрешен на точка D съответства на региона, както и уникално решение, което отговаря на първоначалните условия.

Общото решение на това уравнение е семейството на функции
.

Наистина, за всяка стойност на C, тази функция удовлетворява уравнението.
Освен това, винаги можете да намерите на стойност C, което е съответното специално решение ще удовлетвори дадена първоначално състояние.

Нека да се намери, например, конкретно решение отговаря на първоначалното състояние у (1) = - 2. Заместването на тези стойности в уравнението
,
получаваме
.
Решаване на това уравнение за C получаваме С = - 3.
Следователно желания специално разтвора ще включва: Y = X

Това решение може да бъде получена с помощта на по-долу аплета за изграждане на линиите на полето, така и пълният криви за първи уравнение ред.

От геометрична гледна точка на общото решение на уравнение от първи ред на е семейство от криви на самолет XOY. зависи от един произволен постоянен В. Тези криви са наречени интегрални криви на диференциално уравнение.
Специфични разтвори на съответния една неразделна кривата преминава през определен предварително определена точка. Така в последния пример, общото решение е геометрично представена от семейството на параболи, където всяка стойност на параметъра C ще съответства на добре дефинирана крива. Особеното разтвор се представлява от парабола (фиг. 1), минаваща през точка трябва да се отбележи, че първоначалните условия за уравнението първи ред с геометрична гледна точка е за определяне на точка през които трябва да премине съответната съставна крива.

Или да реши да включи това диференциално уравнение, което означава:

а) да се намери своето общо решение или обща неделима, ако са дадени на първоначалните условия,

б) да се намери конкретно решение, което отговаря на дадени начални условия.

Геометричната интерпретация на диференциално уравнение от първи ред

Да предположим, че даден диференциално уравнение се решава за производното :.
Това уравнение за всяка точка определя стойността на производно, т.е.. Е. определя наклона на допирателната към неразделна кривата преминава през тази точка.
Така, пациентите, дава диференциално уравнение или набор от посоки се казва, за да се определи област посока или поле на линейни елементи. Проблемът за интегриране на това уравнение от геометрична гледна точка, е да се намери криви тангента посока, която съвпада с елементи посока поле ред в съответните точки.

Да разгледаме уравнението
.
Във всяка точка (х, у), различен от точката (0,0), наклонът на допирателната към кривата на интеграл е равен на съотношението, г. F. съвпада с наклона права линия, преминаваща през началото и една точка с координати (х, у) , Очевидно е, че интегрални криви са прави линии у = Cx, където С - .. Произволно константа, т на посоката на тези линии е навсякъде съвпада с посоката на полето.

Съществуването и уникалността на решения на диференциални уравнения.

Като се има предвид уравнение от първи ред, решен на деривата, ние повдигна въпроса за определяне на общите си решения и ако първоначално обявените условия за конкретно решение, което отговаря на това условие.
Възниква въпросът: е то винаги съществува конкретно решение и отговарят на поставените първоначалното състояние и ако има, независимо дали тя е уникална.
Помислете, например, на уравнението
.
Често срещано решение за неговото функциониране, така и пълният криви - семейство от хиперболи, където всяка точка не лежи на оста Oy минава една и само една интегрална крива, т.е., това уравнение има уникално решение минаваща през точка, не лежи на оста Oy ... но няма решение, което да минава през точката, взет на оста Oy.
Този пример показва, че не винаги е решение, което отговаря на определен първоначален състояние.
В някои случаи, решението не може да бъде само един.
Например, уравнението

Той има безкраен брой решения, преминаващи през точката (0,0).
В действителност, функцията е общото решение на това уравнение, и за всяка стойност на C линия преминава през началото. На въпрос при какви условия уравнението може да се гарантира съществуването и уникалността на решения, които отговарят на определен първоначален състояние, отговаря на следната теорема.

Теорема.
Нека функцията и частично производно са непрекъснато в регион D на равнината XOY. След това, ако точката принадлежи към тази област, съществува единствено решение на уравнението задоволяване на началните условия.

Геометрично това означава, че във всяка точка на региона D минава една и само една интегрална крива на даденото уравнение. Тази теорема се нарича теорема на съществуване и уникалност на решения на диференциални уравнения.
Връщайки се към нашия пример, ние виждаме, че функцията

и

ако не е определено и следователно не са непрекъснати. Този факт е довел до първия случай на липса на решения, преминаващи през точката на Вол ос. във втория - нарушение на уникалността на точката (0,0).

1.1. Уравнения с разделящи се променливи

Да разгледаме уравнението на първата производна, за позволеното по отношение на:

Това уравнение може да бъде пренаписана, като:

или в симетрична форма

даване на връзката между променливите х и у и техните различия.

Ако в това уравнение, функция P зависи само от х. и функция Q - само на база. след това уравнение се нарича уравнение с отделни променливи.

По този начин, уравнението с отделни променливи се нарича уравнението на формата

Решението на това уравнение се получава чрез директна интеграция. От лявата страна е сумата на диференциалите на двете функции е равна на нула, сумата от интегралите е равно на константа

Уравнение - уравнение с разделени променливи. Интегриране, ние получаваме общото неразделна :.
тип на уравнение

Тя се нарича уравнение с разделящи се променливи.

Това уравнение може да се редуцира до уравнение с отделни променливи, като се раздели двете страни чрез експресията

Общата неразделна уравнението се получава:

предвид уравнение
или.
Ние разделяне на променливите и да се интегрират.

В резултат на изчисления получаваме:

.
Този израз може да се запише в друга форма:

т. на. произволен брой може да бъде представена като логаритъм на друга.

По този начин общият интеграл от това уравнение ще има формата

Обикновено диференциално уравнение се нарича уравнението на формата

лявата страна е общо диференциал на функция, т.е.. д.

Пренаписване на уравнение в оригинал, ние заключаваме, че общият интеграл от това уравнение се дава от уравнението.

Както е известно, общата диференциална функция изразен с формулата

Необходимо и достатъчно условие, че лявата страна на уравнението е общата разлика на определена функция се изразява с уравнението

Функция във формула, се изчислява чрез интегриране на функциите Р (х, у) и Р (х, у), съответно, х и у в която се счита за втората променлива да бъде постоянна стойност (или Y или X).

Интегриране на диференциално уравнение

За това уравнение

Тъй състояние (#), след това уравнение е точно диференциал, по този начин

Интегриране на първото уравнение (Y в този случай приема за константа), ние откриваме

където - функцията да бъдат определени.

Разнообразяване по отношение на Y функцията U (х, у) = С и като се вземе предвид значението,
получавам
,
Дето
.
Заместването на експресията на

в равенство
,
намирам
.
В съответствие с формула

получавам

или
,
където
.

Така че, като цяло интеграл от това уравнение:

Това уравнение е еднакво и може да се интегрира по друг начин.

Намери общо решение или обща неразделна уравнение с разделящи се променливи

Поради големия обем на материала се поставя на няколко страници:
01 февруари