Първите Gomory алгоритъм разтвори напълно целочислени проблеми

13.3.1 Първите алгоритъм Gomory разтвори напълно целочислени проблеми

Да разгледаме напълно число линейно програмиране проблем (13.4) - (13.7), в които п1 = N.

Да - оптималната програма за подкрепа на проблема на цяло число. Ако те са всички числа, тогава. Ако поне една от координатите, например. Това не е цяло число, ние се процедира, както следва.

Нека N означаваме множеството на nonbasic променливи и изрази целевата функция и всички променливи по отношение на nonbasic променливи въз основа на последната симплекс таблица.

Тъй като - не-число стойност означаваме-близкото цяло число не по-дълъг. от [] (число част) и определяне на дробна част от (<>):<>= -.

Teorema13.5. Да - осъществимо решение на проблема. След това връзката

определяне на правилната резитба.

Доказателство. Ние пишете израза (13.10) под формата

Използване на експресията (13,11), получаваме

Въз основа на предположенията на теоремата за допустимостта на решаване на проблема - цялото. Стойността на цялото, по дефиниция. Следователно, също като цяло.

Ще докажем, че. Да предположим, че. Това означава, че

По дефиниция, дробна част. Чрез хипотеза, Х - осъществимо решение на проблема. така. Следователно ,. , Тук. или това, което е едно и също нещо. Така че - не е цяло число, но това е в противоречие с това, което току-що бе доказано. Поради това допускане е погрешно. Това доказва теоремата.

Следствие. Всеки оптимално решение X (D. F) проблем (D. F), не е валидно решение на проблема, не отговарят на правилния прекъсването (13,11).

Доказателство. Нека X (D. F) - оптимално решение на проблема (D. F), фракционна. Ние твърдим, че не отговаря на състоянието на прекъсване на захранването. Оптималност на плана трябва да бъде така. Ето защо. Като се има предвид, че заместваме в (13.11):

което противоречи на хипотезата.

Важен проблем е нарастващата метода на подрязване броят на допълнителните ограничения като разтвори помощни задачи, оптимални планове, които съдържат не-целочислени координати, т.е. има проблем с измерение. Gomory предложената техника ограничава размера на разглеждания продължителен симплекс броя на маса (п 2) (к 1), където п - броят на променливите на проблеми. K - броят на неговите nonbasic променливи. Тази техника се основава на факта, че допълнителните ограничения (правилен клипинг), представляващи интерес за нас само като начин за намаляване на noninteger оптимални решения и прехода от задача да бъде възложена задачата. Имайте предвид, че променлива се извлича от базата веднага след въвеждането на ограничения:

Gomori илюстрират идеята за специфичен пример.

Пример. Напълно решаване на проблема число линейно програмиране:

Изхвърлянето състояние пълнотата, ние решим проблема по метода на симплекс.

След Втората итерация стигнем последната таблица на симплекс оптимално решение. Това решение не е цяло число. Поради това, преходът към строителните задачи. С неинтегрален стойност от две линии - първо и второ място. Номер к избира от условието

В нашия случай. След първия ред е избран за да се образува напречно сечение, т.е. к = 1. Пишем първата част на Gomory:

Тъй = 1/2 = 7/22 = 1/22, получаваме

Прехвърляне на член променлива от дясната страна и въвеждане на променлива, която не е отрицателно салдо. Получаваме напречно сечение под формата на допълнително трето уравнение. (13,12)

да го включите към предишните две, стигаме до проблема. Решаването му може да започне с таблицата за крайния симплекс за. добавяне на уравнение (13,12).

В уравнение (13,12) може да бъде променлива база, но коефициента на е 1, така за задача в таблицата източник не е основна справка разтвор. Така че, трябва да получите оригиналния базисното решение.

Разпределяне на трета допълнителна линия за колони с него положителните елементи (в този случай за 3 и 4), се изчислява съотношението. Ако има колона, за която мин <> Тя отговаря на избраната линия, линията на данни и колоната изберете като разрешение, след което променливата незабавно изведени от основата и се превръща в нов подпомагане вземането на решения. Ако няма такава колона, избраната колона като толерантен с най-малкия елемент в избран ред и редицата мин <>. След това процесът се симплекс започва Таблица за преобразуване.

В този случай, мин <> съответства на третата колона избран ред. Следователно, като се даде възможност за третия ред и третата колона, веднага получи справка разтвор, който едновременно и оптимално :. Тъй като отново не е цяло число, а след това се пристъпи към строителните задачи.

Съответната част от следното:

Тъй като ние имаме нов четвърти уравнението

Чрез въвеждането на променлива не-отрицателен баланс. Ние получи раздел 4 от допълнителните уравнения за проблема.

След извършване итерация трябва разтвор опора, която е едновременно оптимално и число. По този начин. ,

Нека ни даде геометрична интерпретация на решението. Фиг. 13.2 Вграденият областта на възможните решения на проблема и показва определянето на неговото оптимално решение. В решаването на проблема, въведете първата част на Gomory. Заличаване на променливите и се използва оригиналният уравнения, получаваме. Това неравенство съответства на граничната линия. съкращения от областта намерени не-число разтвор. но запазва всички целочислени разтвори.

За новия район да се намери оптимално решение на проблема; Ние строим втора секция в прехода към проблема. които, след премахването на основните променливи и приема формата. В новия областта на оптималното решение е желаният цяло число.

При определени условия е възможно да се докаже теоремата на крайността на първия Gomory алгоритъм, който ние заявяваме, без доказателства.

Teorema13.6.Pust набор от оптимално планиране проблем е ограничено и са изпълнени следните условия:

1) гарантира пълнотата на целевата функция (например всички - като цяло) и линията на целевата функция се взема под внимание при избора на правилната линия за изграждане на прекъсване:

2) има поне една от следните твърдения: мишена funktsiyaogranichena долу нататък. проблем има поне един план.

След първото Gomory алгоритъм изисква само краен брой големи повторения.