Продължава фракции, математиката, които обичат
Исторически непрекъснати или продължиха фракции се появили във връзка с необходимостта да се намери най-доброто сближаване на реално число с помощта на звук. Следователно, конструкцията на съоръжения за предаване на въртене от едно колело на друг е необходимо да се намали на един от зъбите си, и от друга - така, че възможно най-доброто съотношение е почти предварително определено съотношение на ъглови скорости. Ясно е, че долните зъби трябва да се намали, така че ще бъде по-изгодно. Интересното е, че установяването на продължителността на годината се свежда до един и същ проблем - защото Земята се върти около Слънцето за деня, и то е ирационално число. Нека да видим какво е продължаващото фракция, и как те се отнасят до евклидовата алгоритъм за намиране на най-голям общ делител на две числа.
Opredelenie.Nepreryvnoy (или верига) фракция е израз на формата
Непрекъснатото ролката може да бъде ограничен или безкраен.
Числата, които участват в разширяването на продължаващото фракция, наречени частични коефициенти.
Понякога верижна дроб, определен както следва (използване на частични коефициенти).
Вземете произволно реално число. Да - неразделна част от (- най-голямото цяло число, не по-голямо от). Ако номерът не е цяло число, получаваме. Ако не е цяло число, ние можем да намерим цялата част от него, а също и да се намери броя и др.:
от който се получава разширяване в верижна дроб:
Ясно е, че ако броят е ирационално, а след това продължи фракция е безкраен. В действителност, всеки краен продължение фракция е рационално число.
Пример 1. разлагат продължава брой фракция.
т.е. , Следователно частичните коефициенти ще бъдат повторени. И експанзия в продължение фракция има формата
Ако номерът е рационален, той може да се изведе от продължиха фракции. Подреждане в продължение фракция в този случай с помощта на Euclidean алгоритъм.
Следователно последователно заместване на всяка фракция
негова подходяща експресия, ние получаваме представяне
Те призоваха convergents.
Теорема. За подходящи фракции с връзката
С други думи, числителите и знаменателите на фракциите може да бъде последователно открити от формулите
Доказателство. Ще докажем чрез индукция. Ние се провери индукция база. Да предположим. След това, както е получена от замяната на израза за броя на на, ние имаме
Да предположим сега, че равенството
По този начин, за равенство на един и същи вид. Това доказва теоремата.
Изчисления и удобен за използване на следната таблица:
Забележка. последната колона напишете само в случаите, когато - несводима фракция с положителен знаменател :.
Пример 2. разлагат верижна дроб несводима фракция:
Ние се получи верижна дроб:
Таблица както следва:
Така, подходящите фракции са както следва:
В случаите, когато на числителя и знаменателя не са сравнително премиер (НОД) в последната колона на таблицата ще бъде на числителя и знаменателя на намалена фракция, равна на дадена фракция.
ПРИМЕР 3 разлагат в продължение фракция:
Изявление 1. 1) За да имате
Доказателство. В действителност, когато стигнем
Освен това, от уравненията
където тя трябва незабавно да се изисква.
Във втората част на отчета се получава, както следва:
умножаване GBR оттогава.
Пример 4. Тук линейно представяне на най-големите номера общ делител и (виж Пример 3) .:
Твърдение 2. Да предположим, че и ако - рационално който не може да бъде принуден фракция с положителен знаменател, да ги споделите също. След това тя се намира между и, колкото по-близо до, отколкото да.
Доказателство. Замяна в уравнението
когато е ясно, че първият от различията, в скоби, знакът, противоположна на втората и числено по-малък (тъй като), което доказва нашата твърдение.
1. Bavrin II Fribus EA Интересни математически задачи.
2. IM Виноградов Основи на теорията на числата
3. Нестеренко Ю EM Nikishin Опит върху продължиха фракции, Quantum, 1983 - N5. - С- 16-20; N6. - S. 26-30
Една трета повече от една секунда. Сравнение е десетична система означава десет разделена от една трета и една десет секунда средство 30 е по-голяма от 20. умножава десетичната 10 в обърнат фракция. Колко пъти една трета се намира в топ десет десетичната. И колко пъти 3 в едно цяло? Не е дори веднъж. И там са шестнадесетичен изчисление 0123456789ABCDEF. Писма са определени предпоставки за obrazovaniyayu компютърна програма, която изчислява най-бързо с по-малко количество памет. Всички загубени. Фиш!
Пихме линия. Хората казват, че пиенето на линия. След статистическо сравнение се провежда в десет в общото поле с десетични числа, а не в обща база, която е частното на основата. Пробата от дузина. Сравнете тази статистика и статистиката отчитат нуждите на най-голям брой проба разследвани числов масив.
Пихме по една и съща линия скоро.
Сем време otmer odyn пъти отстранен. И какво, ако сравним общото, така и специално честотата на частното по принцип?
Една трета по-малко от една секунда или нещо, което не разбирам?