Плътността на вероятност, математика, фендъм задвижвани от Wikia
Редактиране на плътността на вероятността
Нека вероятност мярка за, че е вероятността пространство, където обозначава Борел σ-алгебра. Нека означава Lebesgue измерване на.
Определение 1. Вероятността се нарича абсолютно непрекъснат (по отношение на Lebesgue мярка) (), ако има такива Борел набор от нула Lebesgue мярка също има вероятност за нула:
Ако вероятността е абсолютно непрекъснато, тогава съществува неотрицателна функция Borel като съгласно теоремата радоновата Nikodym че
,
където често използвани съкращения и интеграл се разбира в смисъл, Lebesgue.
2. Определяне на функциите, определени по-горе, се нарича радон-Nikodým вероятност или вероятност мярка относителна плътност (по отношение):
.
Edit свойствата на плътността на вероятността
- плътността на вероятността се определя почти навсякъде. Ако плътността на вероятността и почти навсякъде по отношение на Lebesgue мярка и функция като плътност на вероятностите.
- Интегралът на плътността над цялото пространство е равен на една:
И обратното, ако - неотрицателно почти навсякъде функция, така че е налице абсолютно непрекъснато вероятност мярка по такъв начин, че е неговата плътност.
- Резервни мерки Lebesgue интегрална:
където всяка функция Borel интегрируеми по отношение на мярката за вероятност.
случайна променлива плътност Редактиране
Нека определената вероятност произволно място и случайна променлива (или случаен вектор). Той индуцира мярка вероятност, наречена случайна променлива разпределение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Ако разпределението абсолютно непрекъснато по отношение на Lebesgue измери нейната плътност се нарича плътност на случайна променлива. Сама по себе си случайна променлива се смята за абсолютно непрекъснато.
По този начин за един абсолютно непрекъсната случайна величина, имаме:
.
Бележки Редактиране
- Не всяка случайна променлива е абсолютно непрекъснато. Всеки отделен разпределение, например, не е напълно непрекъснат по отношение на Lebesgue мярка и следователно дискретни случайни променливи имат плътност.
- Функцията за разпределение е абсолютно непрекъсната случайна променлива е непрекъснат и може да се изрази по отношение на плътност, както следва:
В едномерен случай:
.
Ако и след това прецака и
.
В едномерен случай:
.- Функцията за очакване на един абсолютно непрекъсната случайна променлива може да се запише като:
където - функция Борел, така че определено и ограничено.
случайна променлива превръщане плътност Edit
Да - случайна променлива, и - Инжективно непрекъснато диференцируема функция, така че къде - Jacobian на функцията в точката. Тогава случайна променлива е абсолютно непрекъснато, и неговата плътност е в следния формат:
.
В едномерен случай:
.