Операции на вектори и техните свойства - studopediya

1. умножение на вектор от редица. 2 За да се размножават вектор от редица л трябва да:

1) Дължината на "увеличение" в вектор | л | време (намаляване, ако | л | <1).

2) посока вектор остават същите (същото като вектор у) ако л> 0, или промяна на обратното, ако л <0. Данное определение распространяется как на вектора, расположенные на плоскости, так и в пространстве.

От Фигура 2.7 се вижда, че чрез умножаване на вектора от редица, неговите координати се умножават по този номер. В действителност, степента на прогнози на вектор 2 на координатните оси е два пъти стойността на издатъците вектора. По принцип, ако вектор има координати. след вектора.

2. Добавяне на вектори. 2 сума от два вектора и се нарича трета вектор. излизане от своя общ произход, и служи диагонал на успоредник, стените на който са вектори (обикновено успоредник) (фиг. 2.8).

Ако двата вектора, а след това да ги носят в общ произход лежат на една и съща права линия, а след това им сума е по дефиниция е вектор. чиято дължина е равна на сумата от дължините на векторите на условията и посока съвпада с посоката на тези вектори, ако последният еднакво насочени; ако условията на векторите, сочещи в различни посоки, сумата им е вектор. чиято дължина е равна на разликата на дължината на векторите на условията и посока съвпада с посоката на вектор, като по-голяма дължина. В случай на равни дължини на двете срещуположно насочени вектори тяхната сума е векторът, чиято дължина е равна на нула. Този вектор се нарича вектор нула и определена.

1 Ако векторите и се определят от техните координати, координатите на сума, равна на сумата от съответните координати на векторите на термините :.

Фиг. 2.8 показва, че и следователно. Това предполага друго правило на вектор допълнение (триъгълник правило): ако в началото на вектора в съчетание с края на вектор. сумата на векторите е вектор, началото на който съвпада с началото на вектора. и в края - с края на вектор.

Освен г операция има следните свойства:

Първото свойство е очевидна. Вторият имот ще се докаже с помощта на триъгълник принципите на вектор допълнение (фиг. 2.9).

4 е съвместим с началото на вектора на края на вектор. и началото на вектора с края на вектор. Тогава вектора. започваща на която съвпада с началото на вектора. и в края - края на вектор може да се намери по два начина. От една страна. и от другата страна. 3

3. изважда вектори. Тази операция е специална дефиниция не е необходимо, тъй като разликата може да се разглежда като два последователно изпълнение вече известни операции: умножение с -1 и добавянето вектор на вектори. Т.е..

ж Ако комбинирате началната вектори. векторът ще има начало в края на вектора на умалител (), и края - в края на намалената-вектор ().

4 Достатъчно е да се използва факта, че вектора. Тя се сгъва с вектора. Той дава вектор (фиг. 2.10). 3

Ако векторите и имат координатите. , координатите на тяхната разлика равна на разликата между съответните координати изваждат вектори.

4.Skalyarnoe продукт на вектори.

(. Фигура 2.11) 2 скаларно произведение на вектора (означен) е число, равно на продукта от дължините на векторите и косинус на ъгъла между тях;

. (2.3)
От училищния курс ние знаем, че скаларната продукт може да бъде изчислена от координатите и вектори. А именно:

. (2.4)
Формули (2,1) - (2,4) следва много полезен формула за намиране на ъглите между вектори, дадени техните координати:

1 Вътрешната продукт има следните свойства:

1. (скаларен продукт е комутативен).

2. (постоянен коефициент може да се приема като знак на скаларен продукт).

4. Ако и само ако векторите са взаимно перпендикулярни (нулев вектор се счита, перпендикулярна на всеки вектор).

Всички от горните свойства са получени от дефиницията на скаларното продукт и тествани директно.

5. вектор проекция върху ос. Нека вектор 2, и да P и Q са проекциите на точки А и В, съответно, от предварително определен брой ос (С). Проекцията на вектора на оста (ите) е количество насочено сегмент.

Определението предполага, че Pr (C) = доведе. = | | × cosj = | | × cosj,
където J - ъгъл, образуван от вектора с ос (с).

Ако оста (ите), за да вземе произволен вектор. насочена в същата посока като оста (С), J ъгъл може да бъде определен като ъгълът между векторите и формула (2.5). след това

Pr (и) =. (2.6)
Уравнение (2.6) ви позволява да намерите проекцията на вектора на посоката на вектора.

6.Vektornoe продукт на вектори.

2 вектор продукт на вектора (означен) е вектор. чиято дължина е числено равна на площта на успоредник конструирана на векторите и. перпендикулярна на векторите и. и насочена така, че краят на краткия му въртене на вектора да видим обратно на часовниковата стрелка на вектор (вектори. и образуване на дясната ръка) (фигура 2.12).

Забележка 1 брой имоти, които произтичат пряко от определението на вектор на продукта:

4. Ако и само ако векторите и са колинеарни (лежат на паралелни линии). Нулева вектор се счита за всеки вектор лежат на една права. Координати колинеарни вектори са пропорционални.

продукт вектор се използва най-често, когато областта на успоредник и триъгълник (фигура 2.13). Следвайте директно от дефиницията на двете формули:

. (2.7)
. (2.8)
Като най-прост пример, помислете за всички възможни вектор продукт на векторите на единица продукция. разположени върху оси на координати Ox. Oy и Oz. съответно:

(2.9)
Ние се получи формула за намиране на вектор произведение на две произволни вектори, определени от техните координати. Да предположим, че са дадени два вектора и. Използване на свойствата на вектор продукт, ние откриваме.

(2.10)
Заместването в (2,10) (2,9) и подобни термини, ние получаваме:

(2.11)
Или в по-компактна форма

7. смесен продукт на вектори.

Смесеният продукт на три вектори. и тя се нарича вектор-скаларен продукт. Смесеният продукт е число. Изчисляваме този номер, знаейки, координатите на векторите. и. Формула (2.11), че. Освен това, с формула (2.4), ние получаваме:

Подобен резултат се получава, ако ние изчисляваме (го гледам). По този начин, ние заключаваме, че
=. Благодарение на този имот, смесения продукт обикновено е означен със символа. Ние сме доказали, че

(2.13)
Тъй като обмен на два реда знак промени определени, в

По този начин, в края на пренареждане на вектор тройна продукт в началото, на вектор продуктът не променя знака си. И обмен на две съседни фактори, смесените промени продуктови подписват.

Модул г смесен продукт е числено равно на обема на паралелепипед, образуван от векторите. и.

4Когато определение на скаларен продукт:

къде. и й - ъгъл между векторите и. Ето защо,

където Н е показана от височината на кутията, която е равна на проекцията на модула в посоката на вектора. перпендикулярна на равнината на паралелепипед база ABCD. V -. Обема на паралелепипед (фигура 2.14) 0.3

Тъй като обемът на триъгълна пирамида, образувана от вектори. и. шест пъти по-малко от обема, съответстваща на кутията, тогава

(2.15)
Цел 2.2. ABCD. (Фигура 2.15) даде пирамида: А (2; 4 - 1), В (3, 2, 0), C (1 - 3, 2), D (5; 1, 3). Виж: 1) BCD ъгъл; 2) в областта на лицето ABC; 3) Обемът на пирамидата.