Намирането на неизвестните коефициенти - studopediya
Ако една рационална част от първостепенно трябва да намери неизвестни коефициенти. За тази частични фракции, дясната ръка на (1.4.5), (1.4.6), (1.4.7), (1.4.8) доведе до общ знаменател. Самоличността на тези уравнения би бил случаят, ако те са полиноми в числителя на ляво и дясно са равни. Затова тези полиноми приравняват числени коефициенти на същите правомощия на х. От получените уравнения са неизвестни коефициенти.
Пример 7. разлага на частични фракции:
В знаменател е четири корени: Х1 = 0, 1 = h2,3,4 следователно тази фракция може да бъде представена като сума от 4 частични фракции:
Това са частични фракции от дясната страна под общ знаменател:
Ние приравняваме числените коефициентите на същите правомощия от х и у полиноми в числителя и в лявата сплав.
От получената система от уравнения намираме неизвестните коефициенти:
Фракция се разлага на елементарни:
Пример 8. Подреждане частично фракция
Ние намираме корените на полинома в знаменателя:
Тази фракция е равна на сумата от три частични фракции:
Нека да дадем на тези фракции под общ знаменател
Да се отървем от знаменателя, получаваме
В този случай, всички три корена са реални и различни. Следователно коефициентите А, В, С, могат да бъдат открити с други средства. Ние замени един по един през последното уравнение стойностите на всички три корена:
Практически Lab 1.5. Интегриране на частични фракции и рационални функции
1.5.1. Интегриране на частични фракции
Както вече бе отбелязано, рационално функция - е отношението на две полиноми. Ако това е грешен изстрел, тя винаги може да бъде представен като цялата част от (полином) плюс правилното рационално дроб. На свой ред, подходящо рационално фракция, в зависимост от това, което корените на полином на знаменателя, разложен на частични фракции от 4 вида:
Интеграли на частичните фракции от всички 4 вида са изразени по отношение на елементарни функции:
неразделна част на формуляра За целта изберете от пълния площад в знаменателя, в резултат на което той идва на масата.
Пример 1. Намерете интеграл.
Решение. Доставя 2 в знаменателя на конзолата и изберете точен квадрат:
Пример 2. Намерете интеграл
Решение. Изберете знаменател перфектен квадрат:
и въвеждане на нова променлива т = х + 3.
Метод за намиране на интеграл на базата на рецепцията, което ще доведе до намаляване на степента на квадратното полином в знаменателя. По принцип, изчисляването е много тромава, така че помислете конкретен пример.
Пример 3. Изчислете интеграл:
Различаваме в числителя на производната на знаменателя, а след това на интеграл е разделен на две:
Първият - е интеграл от функцията на захранване.
На второ място се изчислява отделно.
Намалете степента на знаменателя във 2 интеграла, както следва:
В числителя на последния интеграл ние събиране и изваждане на т 2:
В резултат на интегралната J2 - отново разделени на две, един от които е показан, а другият може да бъде взето на вноски:
Заместването на стойността на J2 в оригиналния израз, ние най-накрая получи:
1.5.2. Интегриране на рационални функции
За да намерите на интеграл от рационална дроб е необходимо:
1. изолира цялата част, ако рационално функция е неадекватно фракция;
2. получили подходяща фракция да се намери корените на знаменател и ума намерени корените да записва подходяща фракция като сумата от частични фракции с неизвестни коефициенти;
3. намери неопределени коефициентите в частични фракции;
4. интегрира цялата част и частични фракции.
Пример 4. Изчислява се интеграл
В един рационален функция под неразделна знак, от степента на числителя над полином знаменател.
Фракция погрешно, така че ние да изберете цялата част:
След първоначалния интеграл може да се запише като:
В знаменателя на фракцията правилно получи стои под знака на втората интегрална кратни има реални корени. Фракция се разлага на проста форма:
За коефициентите А. В, С даде частични фракции до общ знаменател
Приравняването на коефициентите на същите правомощия Ч Ш полиноми в числителя на ляво и на дясно, получаваме:
интегрира частични фракции.
Замествайки в оригиналния интеграл, ние най-накрая получи:
Решение. Фракция правилна, разгънете знаменател от факторите, както следва:
Получени три първи фактор на мощността, съответстващ на корените: 0, 2 и -2, всеки корен множество 1.
Фракция се разлага на елементарни:
Размножава двете страни с разлагане х общ знаменател (х - 2) (х + 2).
резултатът
Общият знаменател има три недвижими корен. Заместването на всеки един от тях към лявата и дясната страна на уравнението 1.5.1, ние откриваме, стойностите на неизвестните коефициенти А, Б и В.
9 х 2 0 - 2 0 х - 8 = A (0 - 2) (0 + 2) + B х 0 х (0 + 2) + C х 0 х (0 - 2); -8 = -4А Þ А = 2
9 х 2 2 - 2 х 2-8 = А х (2 - 2) х (2 + 2) + B х 2 х (2 + 2) + C х 2 х (2 - 2) 9 х 4-4 - 8 = 0 х А + 8 х B + 0 х С; 24 = 8В Þ В = 3
9 х (-2) 2 - 2 х (-2) - 8 = = А х (-2 - 2) х (-2 + 2) + B х (-2) х (-2 + 2) + C х (-2) х (-2 - 2); 9 х 4 + 4-8 = А х 0 + B + C х 0 х 8; 32 = 8С Þ С = 4
Тези фактори могат да бъдат получени чрез други средства.
Приравняването на коефициентите на същите правомощия на х от ляво и от дясно в уравнение (1.5.1) получаваме системата от уравнения:
Решаването на тази система, ние откриваме една и съща стойност на коефициента
А = 2; В = 3; С = 4.
Когато решението е обикновено се комбинират двата метода.
Смяна под неразделна част от неговото разлагане в частични фракции и намирането интеграли, ние се последователно
Решение. В знаменателя още няма реални корени, че е отразено втора степен.
Разлагането на подинтегрален в частични фракции е както следва:
Като умножим двете страни на това уравнение от общ знаменател. получаваме:
Приравняването на коефициентите на подобни правомощия на х, ние имаме: