Началните и гранични условия

За да се определи температурата в тялото във всеки момент от време, не е достатъчно от уравнение (6). Необходимо е, както следва от физически съображения, да се знае, равномерно разпределение на температурата във вътрешността на тялото в началния час (първоначалното състояние) и топлинни условия на границата на тялото (гранично условие).

Първоначалното състояние е в контраст с хиперболичен уравнението е даден само един, защото първоначалното уравнение съдържа само първи път производно.

Граничните или граничните условия могат да варират в зависимост от температурата на границата на тялото. Основните видове термични условия са следните: I - в границите на определена температура се поддържа; II - хранени граница дефинирани топлина поток; III - топлообмен с околната среда, чиято температура е известен. Те съответстват на граничните условия на първи, втори, трети вид.

Ние формулираме по-горе условия за уравнението на едномерна топлина.

Първоначалното състояние е определяне на функцията ф = ф (х, у) на първоначалното Време (т = 0):

Ние извлече граничните условия, в случай I - III.

1. В краищата на пръта (или в единия край) е дадена температура

където - функциите, определени в Т интервал, който е интервалът от време, през който се изследва процеса. Конкретно, т.е. в краищата и се поддържа при постоянна температура.

2. В единия край (или и двете) е настроен на производното на желаната функция. Например напречното сечение на х = 0

Ние даваме физическа интерпретация на това състояние. Нека т) - стойност на топлинния поток, т.е. количеството топлина, преминаващ през края х = 0 напречно сечение за единица време. След баланс уравнението на топлина за член на прът (0; # 916 х) в момент, като в получаването на уравнение (4) могат да бъдат написани като

е намалял с # 916; т и преминаване на границата # 916 х 0. получи

По този начин, ние имаме състоянието (12), в който известно функцията изразена чрез предварително определено топлинния поток с формула

По същия начин, за х = 1, напречното сечение чрез който топлината потоци. намирам

Следователно, състоянието притежава vsluchae или когато се дава съответния край на пръта топлинния поток, протичащ в или течащи. По-специално, ако терминал sechenieteploizolirovano, след това (т) = 0 или (т) = 0. и следователно

3. В единия край (или и двете) се прилага чрез линейна връзка между функция и негово производно. Например напречното сечение на х = л

Условия тип (13) се използва при процеса на топлина, т.е. пренасяне на топлина от тялото на околната среда. пренос на топлина закон е сложен; но за да се опрости проблема, може да се приемат под формата на закон на Нютон. Според емпирично закона на Нютон топлината, излъчена за единица време за единица повърхностна площ на тялото в околната среда, което е известно температура пропорционална на температурната разлика между повърхността на тялото и околната среда:

където # 945; - коефициент на пренос на топлина (топлинна проводимост или външно).

Възможно е да се определи на топлинния поток през сечението на бара, като се използват два израза в cilu спестяване на енергия закон.

Съгласно закона на р топлинен поток (т) на Нютон, преминаващ през напречното сечение

От друга страна, на потока на топлина трябва да бъде предоставена вътрешно от проводимост. Поради това, в съответствие със закона на Фурие

Приравняването на страните на дясната страна на тези изрази, ние откриваме

Следователно ние получаваме математическата формулировка под формата на условия

. .

Имайте предвид, че на граничните условия, наложени на стойностите на ф (х т) функция, наречена условия на първия вид. Граничните условия, наложени на стойността на деривата се нарича условията на втори ред. Условията, наложени от двете стойността на функцията ф (х, у), и стойността на производно. наречен условията на трети вид.

Този тип гранични условия (11), (12) и (13) Посочва се съответно на първа, проблеми втори, трети гранични за уравнението на топлина. Първоначалното състояние за всички казаха гранични проблеми остава същата и се дава от уравнение (10).

Така, първият проблем гранична стойност се състои в намиране на решение U = ф (х, у) на уравнение

при 0

ф (0, т) = 0

По подобен начин, други гранични проблеми, свързани с различни комбинации от граничните условия при х = 0 и х = л.