Място система вектор "линейна алгебра

т.2. Място система вектор.

Нека V - линейно пространство над K, - произволна система от вектори в V.

Определение. Всеки който не е празен подмножество на множеството на вектори се нарича подсистема на системата.

Пример. Предвид система от вектори. След това - подсистема на системата. Самата система е и самата подсистема.

Определение. Подсистема, наречена максимална линейно независими подсистема на този вектор система, ако тя е линейно независими и към него се прибавя всеки вектор на тази система става линейно зависими.

Определение. Рангът на система от вектори е броят на вектори в своята максимална линейно независими подсистема.

Имайте предвид, че ако системата на вектори съдържа поне един ненулев вектор, а след това му ранг е по-голяма от или равна на 1.

В това, което следва, ние приемаме, че системата за вектор съдържа ненулев вектор.

На следващата теорема показва, че рангът на системата е нейната инвариант, т.е. Тя е независима от максимално линейно независими подсистема на системата за вектор.

Теорема. (В система ранг вектор.) Място на вектори на величина, равна на линейната участъка на своите вектори, т.е.

Доказателство. За улеснение Обозначения изброявам векторите на системата, така че системата има максимална линейно независими подсистема на системата от вектори. След това.

Помислете два случая.

1), т.е. Тази система е линейно независими вектори. Тогава тя е неговата максимална линейно независими подсистема и нейното място в класацията е равно на m. Помислете за линеен период от векторите на тази система:

Системата на вектори за да се определи линейна плик е генерираща система и нашата хипотеза е линейно независими. Следователно, системата е в основата на линейния участък L, и следователно е равна на измерение м и уравнението е установено (4).

2). След това системата на вектори е линейно зависим за всички стойности на индекса, от което следва, че вектор линейна комбинация от предходните векторите на тази система, т.е., , От това следва, че

п като обратна включване очевидното на,

Следствие. Отличителни вектори на системата е нейната непроменливи, т.е. Това зависи от избора на неговата максимална линейно независими подсистема.

Доказателство. Да предположим, че произволна система от вектори и, - две от произволна максимална линейно независими подсистема. След това, от теоремата,

Забележка. От това следва, от последната теорема, че на базата на линейния диапазон на системата от вектори е максимално линейно независими подсистема на системата от вектори. Действително, намерено максимална линейно независими подсистема е линейно независими, а броят на вектори в линеен размер е равен на черупката, т.е. тя е в основата на линейния участък.