Normed линейни пространства

§ 21. Определение и примери за Normed линейни пространства

Определяне на R 1. Комплектът елементи се нарича линеен пространство, когато са изпълнени следните условия:

I. За всеки два елемента е еднозначно определени от третия елемент наречен тяхната сума, където

3) има елемент 0 такова, че за всички

4) всеки има елемент, който

II. За всяка редица елементи и елемент се определя (продукта от броя на х), където:

III. събиране и умножение операции са свързани, както следва:

В зависимост от това, което номерата на акциите (всички сложни или само валиден) допуска се прави разлика между комплекс и реално линейно пространство. Където не е указано друго, ние ще разгледа реалните линейно пространство.

В линейната пространство, в допълнение към дейността на събиране и умножение от няколко, по-често се прилага по някакъв начин ограничава операция процес. Това е най-удобно да се направи това, като напишете в линейна пространство норма.

Линейната пространство R се казва, че нормализираната ако всеки елемент се определя правило и неотрицателно номер:

1) Ако и само ако

Лесно е да се види, че всеки Normed пространство е в същото време показател пространство; достатъчно, за да сложите метрични пространство аксиоми на правосъдието следва директно от свойствата на 1-3 норма.

Пълен Normed пространство се нарича тип Банах пространство, или, накратко, в пространството.

Примери нормализирани пространства. 1. права линия с обичайните аритметични операции е най-простият пример за Normed пространство. Нормата в този случай е просто абсолютната стойност на реално число.

2.n двумерен евклидово пространство, т.е. пространство, състояща се от система от п реални числа в който нормата (.. т.е. дължина) на вектора е дефинирана като корен квадратен от вътрешната си квадратен

Налице е също така Normed линейно пространство.

наш тримерно пространство вектор норма на вектор

Вие също може да се определя по формулата

Ако приемем, че нормален вектор равен, ние отново се получи Normed пространство.

3. пространство непрекъснатост с обичайните функции на операциите на събиране и умножение по редица, където

Това е Normed линейно пространство.

4. Нека отново се състои от всички непрекъснатост на [а. Ь], и скоростта се въвежда с формула

Всички аксиоми в норма са изпълнени.

5. Пространството е Normed линейно пространство, ако приемем, че сумата от два елемента

6. пространство се състои от последователност от

реални числа, отговарящи

Добавянето и умножение са дефинирани, както в Пример 5, и скоростта е определено равно

7. пространство ограничена м последователности със същите дефиниции на суми, продукти и стандарти, както в предишния пример.

Аксиоми на линейна пространство във всеки от тези примери са лесно потвърдени. Фактът, че в Примери 1-5 аксиоми 1-3 за правилата се оказа точно по същия начин, както и валидността на аксиоми показател пространство в съответните примери, § 8 сек. II.

Всички тези примери за пространство, но пространството са В-пространства.

Определяне 2.Lineynym mnogoobraziemL в Normed линейно пространство R е всеки набор от елементи на R, които отговарят на следното условие: ако това къде и - всяко число. Затворена линеен колектор в R. R се нарича подпространство на пространството

Забележка 1. В наш тримерно евклидово пространство R на понятието линеен колектор и съща подпространството, тъй като всеки линеен колектор в затварят автоматично. (Докажи го!) Напротив, в безкрайната тримерното пространство, там не са затворени линейни колектори. Например, множество точки на форма L

т. е. такива точки, които имат само ограничен (но произволна) брой на ненулеви координати, не е затворена линейна колектор. Действително, линейна комбинация от точките (1) има точка на същия вид, т.е., L - .. линейна колектор. Въпреки това, L не е затворен, защото, например, последователност от точки

принадлежащи към L, се доближава до точка

L, който не принадлежи.

Забележка 2. Нека - елементи Banach пространство R. и М - R образуват множество от елементи за всеки ограничен п.

Очевидно е, че М е линейна колектор в R. Ние показваме, че [M] е линейна подпространство. С оглед на затваряне [М] е достатъчно, за да докаже, че е линейна колектор.

Тогава нека всеки съседство на х има и някакви -neighborhood - точка състои от един елемент и оценка