Метод за решаване на проблемите на формата - използва определяне на границите на последователности, докаже равенство

Разглеждане на метода за решаване на следния пример $$ \ lim_ \ Frac = \ Frac $$ Припомнете дефиницията на граница на последователност.

последователност \ (\) се нарича конвергентна. ако съществува брой \ (а \), последователността \ (\) е безкрайно. т.е. \ (\ Forall \ varepsilon> 0 \ четири \ съществува N = N (\ varepsilon) \), така че за всички \ (п> N \) елементи \ (x_n \), тази последователност отговаря \ (| x_n-а | <\varepsilon \). При этом число \(a\) называется пределом последовательности \(x_n\), что символически записывается так: $$\lim_x_n=a$$ Хочу обратить внимание на основные моменты из определения, которые понадобятся при доказательстве.

1. Ако ние не говорим \ (\ forall \ varepsilon> 0 \), това означава, че каквото и произволно малка \ (\ varepsilon> 0 \).
   
2. Ако говорим \ (\ съществува N = N (\ varepsilon) \), това означава, че по-малките \ (\ varepsilon \), толкова по-голям ще бъде \ (N (\ varepsilon) \).
   

Така че ние имаме връзката между \ (\ varepsilon \) и \ (N \). Същността на доказателството се свежда до определяне на тази зависимост, т.е. ако открием \ (N (\ varepsilon) \), за които неравенството \ (| x_n-а | <\varepsilon \), то это и будет доказательством того, что последовательность имеет предел равный \(a\).

Пристъпваме към доказателството. Пишем неравенството, според определението \ на (| x_n-а | <\varepsilon \) $$|\frac-\frac|<\varepsilon => | \ Фрак |<\varepsilon $$$$|\frac|<\varepsilon =>\ Фрак<\varepsilon$$$$\frac <2n^2+3 =>\ Sqrt- \ Фрак> \). т.е. ние открихме \ (N = N (\ varepsilon) \), така че за всяко произволно малък \ (\ varepsilon> 0 \) за всички \ (п> N \) елементи \ (x_n \) на тази последователност отговаря на неравенство \ ( | x_n-а | <\varepsilon \).