Математическа олимпиада олимпиада и задачи
Задача 1: Може ли един размери 5 х 5 квадратни нарязани на правоъгълници 1 × 2 (домино).
Задача 2: От шахматната дъска 8 × 8 издълбани противоположния ъгъл клетки. Мога ли да изрежете остатъка в правоъгълна форма 1 × 2 (домино)?
Временно решение: Няма. Всеки доминото обхваща една черна и една бяла клетки и на дъската без ъглите на черни и бели клетки от различен номер.
Задача 3: От отсрещния ъгъл на дъската 10 × 10 изрежете две квадратчета с 3 х 3. Възможно ли е да се намалят в останалата част от домино?
Задача 4: Излезте с последователна парче на шахматната дъска, в която еднакво черни и бели клетки, но които не могат да бъдат разделени на домино.
Задача 5: Възможно ли е да се намалят квадрат 10 х 10 25 парчета?
Задача 6: Възможно ли е да се намалят квадрат 10 х 10 25 парчета?
Решение: Paint борда в шахматна дъска модел. Черните клетки ще бъдат четно число, както и във всяка фигура, която ще се получи един или три.
Целева 7: Възможно ли е да се намалят квадрат 10 х 10 25 парчета?
Paint на борда в четири цвята (виж. Фигурата). Всяка цифра заема една клетка от всеки цвят и клетката на първия и втория цвят, различен брой.
Целева 8: Възможно ли е да се намали на квадрат от 10 × 10 25 парчета?
Решение: Paint vertikalicherez един.
9 Цел: Да се докаже, че на борда 8 × 8 без ъглов клетка не може да се нареже на правоъгълници 3 × 1.
Целева 10: Може ли борда 8 × 8, нарязани на квадрат от 2 × 2 и 15 вида фигури?
Целева 11: пл а) 5 х 5Ь) 8 х 8 разделена на няколко правоъгълници 3 х 1 и 1 х квадрат може да бъде 1. Когато квадратен 1 х 1?
Решение: а) В центъра на града, б) в третата клетка на диагонал от всеки ъгъл.
Забележка: боя на борда в три цвята.
Задача 12 Какъв е максималният брой на барове 1 × 1 × 4 могат да бъдат отрязани от дъното на 6 х 6 х 6?
Целева 13: Правоъгълникът е разделен на фигурки. Един от изгубените, но го заменя с. Докажете, че нов набор от капак не може да бъде източник на правоъгълник.
Целева 14: Може квадрат 16 х 16 разделен на 64 4 х 1 правоъгълник, от които 31 ще стои вертикално, а останалите 33 - хоризонтално?
Решение: Paint всеки четвърти вертикално.
Задача 15: При какви квадратен п х п п може да бъде разделена на а);
Решение: Ако н, кратни на четири.
Целева 16: правоъгълник m х к е разделен на правоъгълника на 1 х п. Докаже, че m е неделими от п или к е неделими от п.
Paint н цветове.
Целева 17: Да се докаже, че м × н правоъгълник може да бъде разделена на правоъгълници с × б, ако и само ако са изпълнени следните условия:
1) m и п са представени като ка + LB (к и л - не-отрицателни числа)
2) m и п е разделен на.
3) m или п е разделена от б.
Целева 18: правоъгълник м × н нарича здрав, ако може да бъде разделена на домино, така че всеки раздел правоъгълник пресича най-малко един на доминото. Докажете, че:
а) правоъгълник 2 х п - нестабилна
б) правоъгълна 3 х п - нестабилна
в) правоъгълник 4Хп - нестабилна
г) правоъгълници 5 и 6 х 6 х 8 - твърди
д) ако правоъгълник м х п - траен и × правоъгълника м (п + 2) - траен.
е) * правоъгълник 6 х 6 - нестабилна
г) Какви са кутиите са силни и кои не са?
Решение: е) Съвет: всеки ред в площад 6 × 6 пресича четен брой на домино.
г) Всички правоъгълници м х п, където млн е още, M, N ≥ 5, с изключение на 6 х 6.
Площ нарича тип фигура.
а) Може правоъгълника с размери 5 х 9, разпределени в ъглите?
б) За да се докаже, че правоъгълник със страни 100 и голяма площ дели на три, може да бъде разделен на части.
в) Кои правоъгълници могат да бъдат разделени в ъглите, и какво - не?
Мога ли да се качат 2 н × 2 п без ъглови клетки разделени в ъглите?
Решение: Да, можете. Разпределение се конструира чрез индукция.
Задача 21: При какви дъска п (2n + 1) х (2n + 1) без клетки ъгъл може да бъде разделена на домино, включително хоризонтална и вертикална еднакво?
Решение: Когато дори н.