линейни трансформации

Определение и основни аксиоми линеен пространство. Свойства на линейни пространства. Основа. Матрицата за преход в различни бази.

Линейни (вектор) пространство.

Както е известно, линейни операции (събиране, изваждане, умножение с номер) определят самостоятелно за всеки комплект (броят на полиноми насочено сегменти матрица). самите операции са различни, но техните свойства са еднакви.

Това сходство на имотите ни позволява да се обобщи концепцията за линейни операции за всички набори, независимо от това, на снимачната площадка (брой, матрица и т.н.).

За да се определи линейна (вектор) пространство, помисли набор от валиден елементи L, за които операциите на събиране и умножение от редица.

Тези операции имат следните свойства:

3) има нулев вектор. че + = за " Î L

4) " Î L има вектор = -. така, че + =

7) закона на разпределение (А + В) = A + B

8) на (+) = A + A

Определение: набор L се нарича права (вектор) пространство, и нейните елементи се наричат вектори.

Важно е да не се бъркат понятието вектор даден по-горе с концепцията за това как посока вектор на сегмента в равнината или в пространството. Целеви сегменти са само специален случай на линейни елементи (вектор) пространство. Линейни (вектор) пространство - по-широко понятие. Примери на такива места са набор от реални числа, набор от вектори на самолета в пространството, матрицата и т.н.

Ако броят на операциите за събиране и умножение са дефинирани за реалните елементи, линейната (вектор) пространство е реално пространство, ако елементите за комплекс - комплекс пространство.

Свойства на линейни пространства.

1) Всеки линеен пространство има само един елемент нула.

2) има само един брояч за всеки член на клетка.

3) За всеки Î L 0 х = 0 вярно

4) За всеки един Î и R Î L с х = вярно

5) ако х =. тогава = 0 или =

Линейни преобразувания. линейна матрица превръщане.

Определение: Предполагаме, че линейното пространство L е настроен на линейна трансформация, ако има такъв елемент Î L според някои правило е свързан елемент Î L.

Определение: Трансформация A се нарича линейна. Ако по някаква вектори Î L и Î L и всеки има право:

Определение: линейна трансформация се нарича идентичност. ако го преобразува линеен елемент пространство за себе си.

Пример. Това е линейна трансформация. = A +; ¹ 0.

Пишем на трансформация на всеки елемент. = А +

Провери дали правило операция на добавяне се извършва за тази трансформация А (+) = +; А () + A () = + + +. това е вярно само за к = 0; Нелинейна тази трансформация.

Определение: Ако пространство L са вектори на линейна трансформация. От друга векторът е линейна комбинация от вектори.

Определение: Ако само ако А = В = ... = L = 0, тогава векторите се наричат линейно независими.

Определение: Ако линеен пространство L е N линейно независими вектори, но всички N + 1 вектори са линейно зависими, тогава L пространство се нарича п двумерен. набор от линейно независими вектори се нарича основа на линеен пространство L.

Следствие: Всеки линеен вектор пространство може да бъде представена като линейна комбинация на базисни вектори.

Линеен трансформация матрица.

Да предположим, че в n- триизмерна вектор пространство с основа. , ..., избран А. След това, линейна трансформация на векторите на А, А, ..., А - като вектори на това пространство и може да бъде представена като линейна комбинация на базисни вектори:

След това матрицата се нарича матрица А = линейна трансформация.

Ако пространството L, за да вектора = x1 + x2 + ... + Xn. след това Î L.