Linear неразделна поле вектор

интеграл на линията на полето на вектор - това е линията интеграл от втори вид. Той се въвежда по следния начин. Нека домейна G дадена област вектор. и това поле се определя гладка или по части гладка ориентирана крива AB. Ние разделят кривата AB в точките на разделяне п части в посока от А до Б. радиус вектор от точка означен на. Vector. Ние произволно изберете за всички частични точка дъга и се изчисли стойността на поле в него. От всичко, което се изчисли стойността на скаларна продукт и формират сумата на формата.

6. Определяне на линия интеграл от областта на вектор по дъгата AB е границата (ако има такъв), който се бори за неразделна сумата. ако най-големият от дължините на частичния дъгата клони към нула, а п на брой елементарни дъги се увеличава за неопределено време. Това ограничение е обозначен. Т.е.

Когато промените ориентацията на кривата на интегрална промени знак.

Физическият смисъл на израза - е работната сила произведени чрез преместване материал точка от А до В по контура L.

Линеен неразделна вектор поле по затворена крива (линия L) област се нарича циркулацията в затворена верига за дадена посока линия прекосява и е означен с

(+ Знак показва, че обратно на часовниковата стрелка верига).

Нека областта е настроен координати неговите функции и. след това

От дясната страна на израза (7) - линия неразделна от втория вид.

За плоска област линия неразделна се изчислява по формула :. (8)

Линейно поле неразделна вектор се изчислява в съответствие с обичайните правила за изчисляване на линията, неразделна от втория вид, т.е. Тя се превръща в едно. За да направите това, всички променливи в рамките на интегрална знак се изразява като една променлива, като се използва уравнението на линията, по която се осъществява интеграцията.

Ако в полето вектор е даден в космоса. и линия AB е даден от параметрични уравнения че

Ако линията AB е дадена системата от уравнения

За плосък векторно поле и линията AB. дадено от параметрични уравнения. интеграл на линията се изчислява, както следва:

при което - параметър стойност Т, съответстващ на началната и крайната точка на пътя интеграция.

За дъгата AB, определен от уравнението. , (8.2)

Ако линията AB е по части гладка, трябва да използвате линия добавка имот неразделна, нарушавайки AB в гладки дъги.

Пример 10. Виж поле работата на вектора при преместване точка по веригата, състояща се от кривата от гледна точка на дъгата на елипсата, и от гледна точка на.

. Тъй като веригата се състои от две части, използването е добавка линия неразделна :. Ние намали двете интеграли на определени формули (8.1) и (8.2).

За изчисляване на контура интеграл от слънцето с помощта на параметричен формата на влизане елипса уравнение.

Пример 11. Изчисли движението на полето на вектора по крива част Вивиани определена от пресечната точка на полусфера и цилиндър. премества обратно на часовниковата стрелка, когато се гледа от положителната страна на говедото на ос.

Използване формула (7). C.

За да се намали подинтегрален до една променлива, преминете към цилиндрична координатна система :. защото точка се движи по крива. След това обмислят създаването полярен ъгъл, и да получат следните параметрични уравнения на кривата:

Заместването на изразите, получени във формулата за изчисляване на движението:

Като се има предвид свойствата на интеграли на симетричен интервал на четни и нечетни функции, ние получаваме :. и

За плосък векторни полета имаме следното твърдение.

Ако функциите и техните частични производни са непрекъснати в затворено домен D. където D - границата на просто свързан домен G, тогава

- Green формула. (10)

Това е положителна посока на веригата (обратно на часовниковата стрелка).

Пример 12. Като се използва формулата на Грийн за изчисляване на полето на вектора циркулира по контур, състояща се от линейни сегменти ОА, ОВ и по-голяма дъга. присъединят към точките А и В, ако. , ,

С формула Грийн: C. , ; , , C.

Проверете отговора чрез изчисляване на разпространението пряко по контура с линейна интегрална: В.

Контрол задача 5.

Изчислява линейни интеграли на полето вектор:

2) и елипса). б).

3) Изчисляване циркулира вектор поле по елипсата получен от точката на пресичане на равнина на цилиндъра в посока на часовниковата стрелка, когато се гледа от точката (0, 10, 0).

4) Изчисляване на линия интеграл от областта на вектор заедно ABOC на полигон. къде. , , ,

5) Да се ​​намери работа на полето по линията на пресичане на цилиндъра и през точка до точка.