Кръстовище и сума от подпространства

Нека U и W - подпространство на линейно пространство V над областта F.

Да приемем пресичане подпространство U и W е линейно пространство.

Забележка. Комбинирането на интервали U и W не е непременно вектор пространство, както е показано в следващия пример.

Пример. Да предположим, че е много вектори на формата, където е. В основата на този вектор пространство са Е1 = (1,0) и Е2 = (0,1). И избран U1 = U2 = - линейни вектори и обвивка, респективно. Сума vektorovne, съдържаща се в

Opredelenie.SummoypodprostranstvU и W е най-малкият подпространството на V. съдържащи U и W. т.е.

.

Най-общо казано, това е възможно да се определи сумата на краен брой подпространства:

Нека U и W - подпространство на крайно двумерен вектор пространство V. След това

Прекият сумата

1) Преките сума

Нека U и W - линейно пространство над полето F.

Opredelenie.Pryamoy сума векторни пространства U и W се нарича декартови продукт V = U х W с добавяне на вектори и размножаване на скаларна определя по следната формула:

Забележка. Определя се по този начин, се нарича директен сумата от външната страна. Пряка проверка, че външната директен сумата от векторно пространство е линейно пространство.

Да приемем, външен директна сума prostranstvU и W има следното свойство: ако и линейни преобразувания определени usloviyamitoyavlyaetsya вътрешен директна сума от подпространства. По този начин,

2) Вътрешният директно сумата

Определение. пространство V е прякото сумата на векторни подпространства U1. U2. ..., Un, ако vektormozhet всеки се представлява от един и само един начин като сума

Директни сума векторни пространства обозначени с V =.

Определя се по този начин, се нарича директен сумата от интериора.

Пример. Нека U1iU2 на подпространство определя по същия начин, както в Пример 1. След това сумата е директно, т.е. V =.

V = количество е линията, ако и само ако едно от следните две условия:

2) слаба V = слаба + неясен + ... + слабо.

Следствие. Ако п = 2, тогава V = количество е линията, тогава и само тогава = 0.

За всеки m двумерен подпространство на линейно пространство V U размер п съществува п - т - тримерно пространство на W, така че V =.

пространство фактор

Нека L - линейно пространство. - подпространство. Определяне на отношението на еквивалентност на L, както следва: х

Y ↔ х-YM, а-вектор. Различни въпроси водят до отчитане на набори от следния вид:

,

"Превключва" линейната пространство M от вектор л. Такива промени не са непременно линейни подпространства L; те се наричат ​​линейни submanifolds.

Лема. единствено и само ако и. По този начин, всяка линейна submanifold еднозначно определя М. линейно подпространство който е изместен. Промяната на вектор се определя до елемент на този подпространство.

Определение. Фактор пространство L / M линеен пространство L на М е множеството от всички линейни submanifolds на L, е промяната на М. подпространство със следните операции:

Тези операции са добре дефинирани и се превръща в L / M в линейната пространство над областта.

а) От определението, че добавката от групата L / M съвпада с коефициент на добавка група L от групата добавка М. Особено, на submanifold е нула в L / М.

б) Налице е каноничен картографиране е surjective, както и неговите слоеве - прототипи на елементи - просто submanifold, съответстваща на тези елементи.