Концепцията за непрекъснатост на
Да предположим, че една точка принадлежи към областта на F функция (х) и всяко ε съседство съдържа точка различава от референтна точка поле функция е (х). т.е. точка е ограничение на заданието. на която функция е (х).
Определение. F функцията (х) се нарича непрекъснато в точка а. ако F функция (х) е ограничение и тази граница е равна на специално F стойност (а) F функция (х) при температура на.
От тази дефиниция, ние имаме функция след непрекъснатост състояние е (х) на точка.
Тъй като, можем да запишем
Следователно, за непрекъснато функцията на символ и символ ограничаване преход функция е характеристики могат да бъдат разменени.
Определение. F функцията (х) се нарича непрекъсната полето (вляво) в точка а. ако правото (вляво) тази граница функция в точка и има специално е стойност (а) F функция (х) при температура на.
Фактът, че F функция (х) е непрекъснато под прав изписва като:
А непрекъснатост в лявата запис функция е а (х) като:
Забележка. Точките, в които функцията не притежават собственост на приемственост, наречени точки на прекъсване на тази функция.
Теорема. Да предположим, че в един и същи набор от определен функции е (х) и г (х). непрекъсната в точка а. След функция F на (X) + г (х). е (х) -G (х). е (х) · г (х) и е (х) / г (х) - непрекъснато в (в случай на нужда допълнително изискват частен грам (а) ≠ 0).
Непрекъснатост на основните елементарни функции
1) Функцията мощност у = х п за естествен N непрекъснато по цялата реално линия.
Първо, разгледа функция F (х) = Х. С първото определяне на граница функцията на поема никаква последователност п>. приближава до. докато съответната последователност от стойности на функции п) = хп> ще доближи до. т.е., той е функция е (х) = х е непрекъснато във всяка точка на реалната линия.
Сега разгледа функция F (х) = х п. където п - цяло число, тогава е (х) = х · х · ... · х. Ние пристъпи към лимит х → а. Ние получи, т.е. F функция (х) = х п непрекъснатото върху реалната линия.
2) експоненциална функция.
експоненциална функция у = а х когато> 1, е непрекъсната функция във всяка точка на безкраен права линия.
експоненциална функция у = а х когато A> 1 отговаря на следните условия:
3) логаритмична функция.
В логаритмична функция е непрекъсната и увеличаване на цялата половина х> 0 за> 1 и намалява и е непрекъснато през половината х> 0 за 0 4) хиперболична функция.
От определението на хиперболичен функция, която хиперболичен косинус, хиперболичен синус и тангенс хиперболичен са разположени на цялата реална ос и хиперболичен котангенс дефинирано навсякъде върху реалната ос, с изключение на точката х = 0.
Хиперболични функции са непрекъснати във всяка точка на работата си (това следва от непрекъснатостта на експоненциална функция и аритметични действия теорема).
5) Функцията мощност
Захранващият функция у = х а = а α Loga х е непрекъснато във всяка точка на отворения половина х> 0.
6) тригонометрични функции.
функции грях х и COS х са непрекъснати във всяка точка х безкрайната линия. у функция = TG х е непрекъснато във всеки от слотовете (kπ-π / 2, kπ + π / 2). функция у = CTG х е непрекъснато на всеки от интервали ((К-1) π, kπ) (тук навсякъде к - е всяко число, т.е. к = 0, ± 1, ± 2, ...).
7) Обратни тригонометрични функции.
Функция у = arcsin х и у = ARccOS х са непрекъснати на интервала [1, 1]. Функция у = arctg х и у = arcctg х са непрекъснато на безкраен линия.
Две забележителни граница
Теорема. Граничната функция (син х) / х при х = 0 и има един, т.е.
Това ограничение се нарича първия забележителен граница.
Доказателство. когато 0 Тези неравенства са валидни и за стойностите на х. отговаря на условията по -π / 2 Теорема. Limit функция, когато х → ∞ съществува и е равен на броя на д. Това ограничение се нарича втората забележителна граница. Забележка. Вярно е също така, че Теорема. Нека функция х = Ф (т) е непрекъсната в точката на. функция у = F (х) е непрекъсната в б = φ (а). След това съставният функция у = F [φ (т)] = F (т) е непрекъсната в точката на. Нека х = φ (т) и у = F (X) - прости елементарни функции, набор от стойности на х = φ (т) е домен на определяне на функция у = F (х). Както е известно, на елементарните функции са непрекъснати във всяка точка на областта на дефиниция. сложна функция на у = F (φ (т)) Следователно предходния теорема. че е суперпозиция на две елементарни функции, е непрекъснато. Например, функцията е непрекъсната по всяко х ≠ 0. като сложна функция на две елементарни функции х = т -1 и у = грях х. Също така, функция у = LN грях х е непрекъсната при интервали точка (2kπ, (2k + 1) π). к ∈ Z (син х> 0).Непрекъснатост на комплексните функции