Колекция от проблеми алгебра

Квадратичен полином III

§ 60. funktsiiu Крайната стойност = брадва 2 + BX + в

Най-ниската, или минимум на всички стойности, които получава квадратна функция у = брадва 2 + BX + C. геометрично може да се тълкува като ординатата на най-ниската точка на у парабола = ос 2 + BX + C (Фигура 81.), и най-високо, или максимум стойност - като ординатата на най-високата точка на парабола у = ос 2 + BX + С (Фигура 82). ,

Ако> 0, у на парабола = брадва 2 + BX + в отива нагоре без (фиг. 81). В този случай, най-високата точка на параболата не съществува. Следователно, съществува и максималната стойност на функция у = брадва 2 + BX + C. Но в този случай не е най-ниската точка на параболата - нейната върха. Следователно, налице е функция минимална стойност. Тази минимална стойност (ние ще го означаваме ymin) е равен на ординатата на върха на параболата. Абсцисата на този връх (означен hmin дава стойността на х аргумент. В които минимум функция у = брадва 2 + BX + C.

Ако <0, то парабола у = ах 2 + bх +с уходит неограниченно вниз (рис. 82). В этом случае самой низкой точки параболы не существует. Поэтому не существует и минимального значения функции у = ах 2 + bх +с . Зато существует самая высокая точка параболы — ее вершина. Следовательно, существует максимальное значение данной функции. Это максимальное значение (мы будем обозначать его ymах ) равно ординате вершины параболы. Абсцисса этой вершины (обозначим ее хmах ) дает то значение аргумента х . при котором достигается максимум функции у = ах 2 + bх +с .

В § 57, беше установено, че пикът на парабола Y = брадва 2 + BX + в значение polozhitelnoa или отрицателно, има координати:

Следователно, може да се каже, че ако> 0, тогава функция Y = брадва 2 + BX + с е минимално; най-голямата стойност на тази функция не съществува.

Ако <. 0, то функция у = ах 2 + bх +с принимает наибольшее значение

най-малката стойност на функцията в този случай не съществува.

Минималната и максималната стойност на функцията, наречени по друг начин екстремни.

Пример 1. Виж крайната стойност на функция у = 2 х 2 - 4-17, и посочва в каква стойност на х е функция се крайна стойност.

Тъй като коефициентът на х 2 е положителен, то се има предвид функцията има минимална стойност. Максималната стойност има. За определяне на минималната стойност на координатите на върха на параболата откриваме у = 2x 2 - 4 - 17. За да направите това, изберете точен квадрат:

Ние се заключи, че координатите на върха на параболата са: х = 1, у = -19. (Тези координати са, разбира се, може да се получи от (1), ако се постави = 2, б = -4, С = -17).

Следователно, минималната стойност на функция у = 2 2 - 4-17 е равна на -19. Това се постига, когато х = 1.

Пример 2. Виж стойността Екстремален на функция Y = - х с 2 - 4 + 6 и се определя при каква стойност на аргумент х е постигната.

Тъй като коефициентът на х 2 е отрицателен, тази функция има максимална стойност. Минималната стойност има. За да намерите максималната стойност, изберете точен квадрат:

От това заключаваме, че максималната стойност на тази функция е равна на 10. Това се постига, когато х = - 2.

Намерете най-екстремните стойности на тези функции и да посочи на каква стойност на аргумента, че са постигнати (№ 434-437).

438. Докажете, че ако сумата от двете величини е постоянен, тяхната proizvedinie възможно единствено и само ако, когато тези променливи заемат една и съща стойност. (Това твърдение е естествен обобщение на теоремата на сумата от постоянно в случай на такива, а не само положителни стойности. Виж Глава I, § 17...)