Изграждане на база Йордания

В пространството Rn (CN) се прилага линеен й оператор, за които броят на # 955; Î R (С) е собствена стойност.

Очевидно е, че тези подпространства са вложени една в друга:

Размери мл = слаба Mi. Следователно, те са свързани с:

Тъй като размерите ми ограничен размер на цялото пространство н. последователността на размерите се стабилизира, т.е.. е. като се излиза от определен брой,

Съответните отношенията държат за себе си подпространства

Лесно е да се види, че подпространствения Мк представлява нищо друго освен съвкупността от всички тези, а само тези, вектори х пространство Rn (КН), за които има с. че (й - # 955; д) и (х) = 0. Това подпространство се нарича корен подпространство на J, съответстваща на тази собствена стойност # 955;. Ние го означаваме с E # 955;. Очевидно съдържа съответния eigenspace V # 955; = M1. Тя може да се докаже, че измерение на корен подпространството E # 955; равна на многообразието на собствена стойност # 955; като основата на характеристика уравнение.

Подмножество Mi + 1 \ Mi аз наричам слоеве. и разликата (мили + 1 - мл) - дебелината на съответния слой. Условно може да постави M0 = 0>. Това може да бъде доказано, че последователността от слоеве с дебелина намалява в насипно смисъл.

Помислете примерите. Нека матрица оператор й в стандартната основа на пространството R8 е матрицата

Тъй като това е една горна триъгълна матрица, неговата диагонал представлява спектъра; по този начин, обхватът на матрица А (к оператор) е S =.

Матрицата оператор й е 2 матрица оператор й 2. 3 - А 3 матрица и др Припомнете си, че вектор J (х), разглежда като матрица колона, равна на произведението на матрици А и X ..:

Ето защо, за намиране на ядрото (й - # 955; д) I = к и (# 955 ;! = 0) е достатъчно за решаване на хомогенна система от линейни уравнения

Очевидно е, RK A = 5, • Работа А2 = 3, • Работа А 3 = 1, • Работа А4 = 0, така че m1 = неясен М1 = 3, m2 = 5, m3 = 7, m4 = 8. В този случай, корен пространство Е0 = М4 - цялото това пространство R 8. дебелината на четири слоеве образуват слабо намаляване последователност

Сега ние откриваме основите на подпространства М1. М2. М3. M4. За това ние се получи матрица, 2 и 3 до основната форма ешелон:

В зависимост от типа на намалената матрица, може да напишете:

Как да стигнем до изграждането на базата на Йордания. Започвайки с външния слой M4 \ М3. M3 основа за допълване на базата M4. В този пример е очевидно, че вектора ще допълни вектор E8. Като цяло, за намиране на допълнителни вектори в матрица, чиито колони са базисни вектори M3 подпространството на. и след това всички вектори на базата на подпространство на М4 (т.е. стандарт основа на R 8 ..) (задължително в този ред), и придават на основната форма ешелон:

В нашия случай, изграждане на матрицата по себе си е голяма стъпка. Преглед на основната стъпка матрицата ни показва, че на базата на М3 може да бъде удължен до база вектор M4 Е8. (Първите седем колони съответстват на основната база на подпространството М3. Е осмата колона съответства вектор E8.)

Така че ние открихме, векторите, размерът на които е равна на дебелината на последния слой. Тези вектори образуват остатък бъдеще Jordan период (в този пример, векторът е уникален). Обикновено Jordan основа ще бъде във всеки слой, тъй като много вектори като нейната дебелина.

Позволете да ви представим още една дефиниция. Нека х - произволен ненулев вектор в eigenspace. Разглеждане на последователност от вектори:

Всички членове на тази цел, като се започне от определен брой, нула, както следва от определението за коренната подпространството. Ако тази последователност всички нулеви вектори хвърлят останалата част от финалната част на поредицата ще се нарича. конструирана като се излиза от (изходните) на вектора х. Дължината на финалната част, ние винаги ще бъде равен на броя на слоя, в която е нашата вектор (по принцип, това не е задължително).

Така че, сега ще трябва да се изгради, тъй като всеки от намерените вектори, съответстващи на серия, която ще ни добавите към вектори в бъдеще Йордания основа на. В нашия конкретен пример, ние изгради серия, като се започне от един вектор E8:

(Между другото, вместо умножаване А2 Е8 могат да се размножават матрицата вече е установено на вектора и Ae8 т. Г.)

Ние сме изградили четири вектори Йордания базисни на бъдещето - по един във всеки слой. Ние сега се премине към следващия слой (с по-малък номер). Ако следващата слой броя на вече конструирани вектори е равна на дебелината на този слой (слой Призовавам наситен), след това преминете към следващия слой (с дори по-ниска стойност) и др ... В този пример, третият слой е ненаситен (дебелината му е равно на две, и вече построените в него на Йордания базисни вектори). Сега ние трябва да се изгради основа на подпространството М3. който съдържа M2 основа подпространство установено по-горе. и вектор й (Е8). За да се постигне това, ние изграждаме една матрица, чиито колони (в този ред) са: база М2. вектор й (Е8), М3 основа. и да го дам на основната форма ешелон:

В последните седем колони на скорост матрица съдържат само една основна колонна - третият (от тях). Това съответства (в първоначалното изграждане на матрица) e3 вектора. Така че, това е вектор да се добавят към базата на М3. и той ще остане в бъдеще Йордания основа на. Сега той се изгради серия:

Тези вектори са включени в Йордания основа на строителството. Ние вече построен седем вектори Йордания базисни (от осем). Имаме всички слоеве стават наситен, но най-вътрешната (М1). За да отговарят на матрицата конструкт, първите две колони от които са носители на този вече изградени слой 3 й (Е8) = A 3 Е8 = 2 и J (e3) = е1. и колоните на базата на подпространството M1 отиват по-далеч. и да го дам на основната форма ешелон:

Преглед на основната стъпка матрицата ни показва, че е необходимо да се добави вектора. Тя ще бъде серия от един вектор.

Йордания база построена. Неговите вектори трябва да бъдат написани в определен ред: един набор от вектори трябва да бъдат написани в един ред, но в обратен ред на строителство, като се започне с бólshih правомощия на оператора. Серия един с друг могат по принцип овлажнява повторно, но условията за сигурност (и за по-лесна работа учител проверка), за да пишат на поредицата по реда на тяхното изграждане. В нашия случай, ние получаваме последователност:

Тези осем вектори съхраняват по този начин е желаната основа Jordan. За да напишете сега матрицата на прехода от оригиналния стандарт въз основа на вграден Йордания, достатъчно от тези осем вектори, написани като колона от квадратна матрица (в същия ред):

Сега ние трябва да напишете вида на получената матрица на Йордан, която е. Е. Матрицата на нашия оператор построен в база Йордания. За да направите това, ние трябва да се има предвид, че всяка построена серия съответства на блок Йордания, размерът на която е равна на дължината на серията. В този случай, продължителността на серията са 4, 3, 1 (предприемат серия задължително в реда, в който са написани на горното основание!). Следователно, Jordan матрица има формата:

И накрая, за контрола на нашите изчисления ние се провери, че формулата

който, както знаем, е еквивалентно на формулата

Изчисляване получи двете матрици:

Да разгледаме сега втория пример, където линейната операторът дава от матрицата

Диагонала тази триъгълна матрица представлява = спектър S. Сега изграждането на подпространства Mi трябва да направите, за всеки # 955;. Нека започнем с # 955; = 0. Също така е необходимо да се изгради матрица, в степен, но не трябва да чакаме, когато те ще бъдат възстановени (това няма да се случи), и се рестартира, когато горния ляв площад на размера на 4 от 4.

Изчисленията спират, т. За. Reset горния ляв квадрат с размер 4 от 4. Броят на свободните неизвестни в намален матрица ни показва размера на подпространства. По този начин, m1 = 2, m2 = m3 = ... = 4. Ние имаме само две подпространства - М1 и М2. Освен това, М2 е основната подпространството. Търсим бази на тези пространства: Standard М1. е1. ; M2 основа. е1. e2. e3. e4. Комбинирайте ги в един матрица и да го дам на ешелон форма:

Така че, част от основата на Йордания, съответните # 955; = 0, както следва:

Остава да се разгледа # 955; = 1. В този случай у оператор - # 955; е = Y - д съответния матричен

M1 подпространство е едномерна, неговата основа се състои от един вектор и =. Сега се изчисли

Изчисленията спират когато долния десен квадрат ще възстанови размера на 4 от 4. Ние се случи на четвърта степен. По броя на свободните неизвестни намалени матрици на измерение M1 определят подпространства. М2. М3. M4:

Ето защо, ние имаме всички четири слоя са с дебелина 1. Така че, когато се намери вектор Йордания основа в последния слой и изгражда от него серия, ние вече са получили всички Йордания основа на вектори (за # 955; = 1).

За да намерите най-векторна конструкция основи М3 и М4 подпространства:

Ясно (и без да прави голяма матрица), че е необходимо да се добави вектор V. В По този начин, ние получаваме от поредицата:

Комбинирането с предишната серия (и писане на вектори на всяка серия в обратен ред), ние получаваме база Йордания:

Тази база съответства Jordan преход матрица:

Бележки. 1. Не прибързвайте с което матрици градуса спрямо основната форма ешелон. Така че, в последния пример (# 955; = 1), появата на главната сцена само трябва да се намери на базата на М3 и М4. Основи М1 и М2 не са необходими, но необходими измерение на тези места, и те са видими от всяка стъпка на формата (не основната).

2. Матрица B - Е и (B - E) 2 са се олюля, те обикновено са вече няма да се налага да води (по-горе се прави само за общността).

Изграждане на база Йордания

Съставител Андреев Кирил Kirillovich