Inverse и ранга на матрицата

4.1 обратни матрици и ранга на матрицата

Квадратна матрица на за п е наречен nondegenerate (или неособена матрица) ако Det А ≠ 0. В противен случай матрицата - конфлуентни (или специален). Матрицата А е обратна на квадратна матрица A. неособена матрица ако АА AAE. където E # 8209; идентичност на матрица за п.

Теорема 4.1. (Необходимо и достатъчно условие за съществуването на инверсната матрица). Свържи се с matritsaAsuschestvuet единствено и само ако оригиналното matritsaAnevyrozhdennaya.

Доказателство. Необходимост. Нека матрица А има обратна А. т. е. AA AAE. Чрез детерминанти собственост имаме 10 D (АА) = D (A), D (A), D (Е) = 1, и следователно, D (A) 0.

Достатъчност. Нека D (A) 0. Ние считаме, квадратна матрица от ред п. наречен присъединяване. Неговите елементи са кофактори на елементите на матрицата. транспониране на матрица А.

Лесно е да се покаже, че

От това следва, че ако инверсна матрица вземе матрица А. продукта от АА и АА са En единица матрица за: AA AAE.

Ранга на матрица А (или Rang означен R (А)) е най-високият ред от неговите генерирани непълнолетни (детерминанти) различна от нула. Всеки е различен от нула непълнолетен на матрицата, чиято цел е равен на нейния ранг се нарича основа своя непълнолетен. Редове и колони, участващи във формирането на основата на непълнолетния, ще бъдат основни. Матрицата може да има някакво основание на непълнолетните, но всички от техните поръчки са еднакви и равни в ранг на матрица.

ранг няма да се промени, ако:

1) редове и колони взаимозаменяеми;

2) да се разменят всеки два от своя колона (ред);

3) премахване от това колоната (ред), чиито елементи са всички равно на нула;

4) се отстрани от него колона (ред), която е линейна комбинация от останалите колони (редове);

5) умножаване на произволна колона (линия) на всеки ненулев брой;

6) за всяко от своя колона (ред) се добавя произволна линейна комбинация от останалите колони (редове) на матрицата.

Transformations 2) # 8209; 6), се наричат ​​елементарни. Две матрици са еквивалентни. ако се получава от друга от елементарни трансформации, и е означен като А

За редиците на матриците имат следните отношения:

5) R (A B) = R (А), ако Б - квадратна матрица и D (В) е 0,

6) R (А Б) R (A) + R (В) - п. където п - брой на колони или редове на матрицата матрица Б.