Графика на функцията на много променливи

Глава 1. Функции на няколко променливи

§ 1.1. Концепцията за функция на много променливи. График и линейно ниво функция на две променливи.

Определяне на функцията на много променливи

Определение. Променливата се нарича функция на две променливи. Ако всяка двойка стойности на две взаимно независими променливи, а някои домейн съответства на определена стойност. ,

Определение. Променливата се нарича функция на променливи. Ако всеки набор от взаимно независими променливи съответства на дадена променлива една стойност. , ,

Всяка функция на няколко променливи става функция на по-малко променливи, ако част от тяхната корекция. Например, функцията. където константи са функции на съответно три, две и една променлива.

В това, което следва, ние считаме, главно функцията на две променливи.

Графика на функцията на много променливи. ниво линия

Определение. Множеството от всички точки. в което има смисъл, тя се нарича областта на дефиниция. набор от ценности. взето от функцията на. Тя се нарича промяната на домейна или множествено число стойности функция. Линията очертаващ региона. нарича гранична зона. Точка на региона, които не лежат на границата, се наричат ​​вътрешни. Област, състояща се от някои вътрешни точки се нарича отворена. ОБЛАСТ със свързан към него се нарича затворена граница. посочено.

За визуално представяне на кривата на геометрична използване ниво за функцията на две променливи и нивото на повърхности за функция на три променливи.

Определение. Наборът от координати за всички точки на пространството определя повърхност, която се нарича функцията график.

Определение. Line-ниво функция на две променливи е множеството от всички точки в равнината. при които функцията поема постоянна стойност, т.е. , където - константа.

Определение. Повърхностното ниво на функция от три променливи е множеството от всички точки в равнината. при които функцията поема постоянна стойност, т.е. , където - константа.

Пример 1.1.1 изрично обем на правоъгълен паралелепипед вписан в сфера с радиус като функция от неговите размери и две. Намерете областта на функцията.

Предполагаме, построен рисуване (фигура 1). Означаваме две измерения, да кажем. Да - на радиуса на сферата, а след това.

Обемът на паралелепипеда е равен. и ние трябва да изразим чрез. От имаме. и да се махаме. Това означава. и след това - неизвестно функция на две променливи.

Нейният домейн :. т. е. на радиуса на кръга, центриран в основата.

ние също се разбере функцията на точка на функция и под. Стойността на функцията в точката, определена и се отнася до частния стойността на функцията.

Пример 1.1.2. Като се има предвид :. Намерете:

А) За да се намери. е необходимо да се замени изразът за и извърши действието. Ние имаме.

Пример 1.1.3. Като се има предвид :. Намери.

От това следва, че

Пример 1.1.4. Намери домейна и обхвата на функцията. Начертайте графиката на функция и нивото на линия.

екстракция действие корен възможно условие. Това неравенство определя порочен кръг радиус центриран в основата.

Тази функция се определя от полето на уравнение. така че си графика е горната полукълбо (Фигура 2). линии ниво са предвидени по периферията. Следователно, по-специално, следва, че наборът от стойности - сегмент

Пример 1.1.5. Намерете областта на функцията

Областта на тази функция, дадена от неравенствата. Първите две неравенства определят квадрат в равнината. Roznachaet и при условие, че всяка линия, минаваща през площада перпендикулярна на нея, принадлежи на домейна. Така че - в безкраен посока кутия (Фигура 3).

Пример 1.1.6. Намери ниво договорена функция.

Кривите на ниво определят от уравнението. Това е най-половина, разположен през първото тримесечие с. през второто тримесечие на самолета при. и секс, ако

Упражнения за §1.1.

1) Експресна областта на равнобедрен трапец, като функция от три променливи: дължината и основата и страничната стена.

2) експресират областта на триъгълник, като функция от дължината на двете му страни и при условие, че триъгълник известен semiperimeter

3) се изразява обема на конуса като функция на неговата образуваща и височина. Посочете областта на функцията.

4) Дан Намери функция:

5) За да се намери функция:

8) Да се ​​намери и представляват областта на следните функции:

9) Намерете функциите на ниво линия на данни:

§ 1.2. Граница на функция на няколко променливи в точката. Приемствеността на функцията в точка и на снимачната площадка.

Граница на функция в точка

Определение. Множеството от всички точки в равнината, чиито координати удовлетворяват неравенството. Той призова квартал на точката. С други думи, в близост до точката - това е вътрешната точка на окръжност с център и радиус.

Определение. Да предположим, че функцията е дефинирана в близост до точката. с изключение, може би, най-много до този момент. Броят се нарича границата на функцията на. ако по някаква съществува такова, че за всички и задоволяване на неравенството, неравенството. Напишете или.

От определението следва, че ако съществува граница, а след това не зависи от начина, по който се стреми да.

Пример 1.2.1. Намери лимита.

Ще подходим по права линия. където някои номер. Тогава .Funktsiya с лимит точка не е, както за различни стойности на граничната функция не е същото.

Limit функция на две променливи имат същите характеристики като граница на функция на една променлива.

Пример 1.2.2. Намери лимита.

Въз основа на факта, че. с помощта на известни формула и един от границата на свойства. лесно се заключи, че.

Пример 1.2.3. Изчислете граница.

Ако. след това. т.е. -стойността безкрайно. Мултипликатори и количествата са ограничени и затова (продукт на безкрайно ограничено от количеството е безкрайно). Ето и ние вярваме. ,

Пример 1.2.4. Изчислете граница.

Означаваме. След това, когато имаме. Следователно ,.

Пример 1.2.5. Изчислете граница.

Трансформация на състоянието в състоянието с помощта на замествания. Ние получаваме. От неравенството имаме Коши. И след това. и защо. И тъй като. ние заключаваме, че.

Непрекъснатостта на функцията на

Определение. Функцията се нарича непрекъсната в точката. ако то е:

а) са определени в този момент и околностите,

в) тази граница е равна на стойността на функция. т.е. или.

Пример 1.2.6. Независимо дали функцията е непрекъсната в.

Ние провери състоянието на непрекъснатост на функции.

1. Функцията е определено в квартал на тази точка.

2. защото имаме. и ограничен.

3. Пределно допустимата стойност е в точката на функцията в тази точка.

Функцията е непрекъсната в. Имайте предвид, че тази функция е непрекъсната във всяка точка като комбинация от непрекъснати елементарни функции.

Функции непрекъснати на снимачната площадка

Функцията е непрекъсната във всяка точка на даден регион, наречен непрекъснато в този регион. Точките, в които разрушават условието за непрекъснатост, наречени точки на прекъсване на тази функция. точката на пречупване може да се образува цялата линия за откъсване. По този начин, функцията има нов ред.

Използване на определението на непрекъснатост и теореми за границите може да се докаже, че аритметични операции за непрекъснатост на сложна конструкция и функция на непрекъснатост води до непрекъснатост подобни настъпили теорема функция на една променлива.

Определение. Домейнът е набор от точки в равнината, като свойствата на прозрачност и свързаност.

Имотът е отворен. всяка точка принадлежи на него, заедно с квартал на тази точка.

свързаност собственост. всеки две точки в региона могат да бъдат свързани чрез непрекъсната линия, която се намира изцяло в тази област.

Определение. Една точка се нарича граница точка на региона. ако тя не принадлежи. но във всеки квартал на точка лъжата в района. Наборът от гранични точки се нарича граница. ОБЛАСТ със свързан към него се нарича затворена граничната област, и се означава. Районът се нарича ограничен. ако всички негови точки принадлежат към радиус кръг. В противен случай, областта се нарича неограничен.

Един пример за безгранична област може да служи като набор от точки на първи квадрант. Пример за квартал на ogranichennoy-.

Теорема 1.2.1. Ако функцията е непрекъсната в ограничена затворена област, той е в тази област:

а) е ограничено, т.е. има номер. че за всички точки в тази област, неравенството;

б) има точка, при която получава минимални и максимални стойности;

в) получава поне една точка на региона, всяка числена стойност затворено между и.

Упражнения за §1.2.

1) Изчислява рамките на:

са взети от различни поръчки Частичните производни се наричат ​​смесени.

По същия начин, определени частични производни на трети, четвърти и т.н. поръчки.

Частичните производни на функциите на две или повече променливи се определят от същите формули и правила, като функция на една променлива. Необходимо е да се помни, само едно правило: ако една променлива е диференцируема, а след това останалата част се счита за постоянно.

Пример 2.1.3. Виж втори ред частични производни на функцията

Тъй като и двете. след това. Смесени производни и

Теорема 2.1.2 (Шварц). Ако по-висок ред частични производни са непрекъснати, смесени производни на същия ред, различаващи се само по реда на диференциация, са равни.

По-специално, ние имаме

Диференциална функция. линеаризация функции

Определение. Ако функцията има частични производни. непрекъсната в точка. След това Теорема за средните стойности за функции на една променлива получаваме. Този израз е основният линейната част на функцията на нарастване и нарича разлика от функцията в даден момент.

Определяне :. Тук. Приета с означението: - частични диференциали функция. след това

- общо диференциална функция