Експоненциална и логаритмични функции на експоненциалната функция

ГЛАВА 6. експоненциални и логаритмични функции

6.1. експоненциална функция

у функция = брадва. където - определен брой, наречен експоненциална функция на променливата х.

Ако> 0. функция у = ос се определя за всички реални стойности х, освен когато а = 1, имаме 1x = 1.

Ако х се определя само за число х (при условие, че знаменател на индекса - нечетен брой).

Когато а = 0 0x израз е дефиниран за х> 0.

Във връзка с по-горе дадения, експоненциалната функция, когато се обмисля> 0 и? 1. Графиката на експоненциалната функция е показано в (фиг. 6.1).

Основните свойства на експоненциалната функция:

Домейнът на определение D (е) = R; границите на вариране Е (е) = (0, +?).
За> 1, функцията е монотонно увеличаване :.
При 0, функцията намалява монотонно :.
Ако. 5 .. 6;

7 .. 8 .. 9 ..

^ 6.2. Логаритмична функция и неговите свойства

Определение. Логаритъм на число б се нарича основата и експонентата, който искате да се повиши число, за да се получи броят на б, т.е. , Така, ако - обратната функция. Ако отидете в общата система за означаване на аргумента и функцията, а след това (логаритмична) обратната функция ще има следния вид: у = logax.

Свойствата на логаритмична функция.

За> 1, функцията е монотонно увеличаване: Ако х +? у +?; когато х = 0, Y - ???.
При 0, функцията намалява монотонно:

.Когато X? 0, у? +?, С х? +. у -?.

.
.
.
- основното логаритмична идентичност.
, където Y1 = logax1, Y2 = logax2.

Следователно, свойствата на логаритмичната функция, определена от свойствата на експоненциалната функция и графиката на логаритмична функция получена от графиката на експоненциалната функция, ако размяна координират ос.

^ 6.3. Логаритъм и усилващо

Логаритъм се нарича действие, който се състои в намирането на експонентата на тази степен и нивото на земята.

Логаритми на експресията означава да се изразят чрез логаритъм логаритма компоненти. Задачата на логаритмите на обратните, наречен потенциране. Propotentsirovat логаритмична израз е на тези отношения между логаритмите на числата да се намери връзката между числата.

? Когато> 0, 1, б> 0, Ь 1, х> 0, у> 0 следните равенства:

6. - формулата на преход към следващата база.

По-специално: а), б), когато

д = 2,71828 ... (лорноксикам - естествен логаритъм)

Пример. Логаритъм на основата на експресия.

Пример. Докажете, че.

Решение. Логаритъм към основата равно на това ще даде идентичност: по този начин, твърдението е доказано.

Пример. Изчислява = А.

Решение. Обръщаме се към експонат към основата 7 и 5.

Пример. го намерите на логаритъм:

Определение. Примерна е уравнение, съдържащ неизвестно само в експонат.

Най-простият експоненциално уравнение има формата: (6.1)

Ние говорим за няколко вида експоненциални уравнения, чиито решения са елементарни методи математика.

заместване е (х) = т намалява на уравнение (6.1).
редуцира до уравнение е (х) = грам (х);
логаритъм на формата.
замяна намалява до уравнение F (т) = 0, и след това към набор от уравнения: където корените.

5, където А, В, С - са константи, и е (х) - дадена функция. Смяна т = AF (х) намалява с квадратно уравнение АТ2 + Bt + С = 0. (6.2)

6. разделяне, например, b2f (х) с последващо заместване, (т> 0) намалява с квадратно уравнение на формата (6.2).

Определение. Наречен логаритмична уравнение съдържащ неизвестно или логаритъма при основа на логаритъм.

Обикновено логаритмична уравнение е:

, където> 0, А 1, б R, х> 0. (6.3)

Общ метод за решаване на логаритмична уравнение не съществува, но има и няколко от най-често срещаните случаи.

.
потенциране води до уравнението F (х) = грам (х). Корените на последното уравнение ще бъдат корени на първоначалното уравнение, освен ако те принадлежат към областта на дефиниция: е (х)> 0, г (х)> 0.
F (logaf (х)) = 0 заместител logax = т намалява до уравнение F (т) = 0, и след това на набор от уравнения; ; ... къде ... корените си.
Уравнения са снабдени с различни условия на уравнения с единична база.
Показателно е, логаритмични уравнения.

Уравнението се нарича показателна-логаритмична дали непознат част на основата и логаритъм на степен.

Като правило, значително-логаритмично уравнение логаритъм води до логаритмична.

^ 6.5. Примери за експоненциални уравнения разтвори

Пример. Намерете решение на експоненциално уравнение.

Решение. DHS: X R.

Пример. Намерете решение на експоненциално уравнение

Решение. ТСС: X R. логаритми на двете страни на една и съща причина за уравнение 5:

Пример. Намерете решение на експоненциално уравнение.

Решение. DHS: X R. трансформира в лявата част на уравнението.

Пример. Намерете решението експоненциално-логаритмична уравнение

Решение. DHS: х> 0. логаритми на двете страни на основата 4.

Ние правим промяна, след това или .Otkuda:

Пример. Намерете решение на експоненциално уравнение.

Пример. Намерете решение на експоненциално уравнение. ,

Решение. ТСС: X R. Чрез заместване 2x = т, т> 0 води до квадратно уравнение дава. ,

Пример. Намерете решение на експоненциално уравнение

Решение. DHS: X R. Имайте предвид, че уравнението след това се извършва под формата

и подмените устройството на площада: След това:

Пример. Решете експоненциално уравнение

Решение. DHS: X R. Замяна:

След отговора. х = 20.

Пример. Решете експоненциално уравнение.

Пример. Решете значителна степен от уравнението.

1) Виж корените на първоначалното уравнение между разтворите на уравнението

. Проверка които х = 0 е корен.

2) Ако едно + x2> 1. първоначалното уравнение еквивалент на уравнението

^ 6.6. Примери за разтвори логаритмични уравнения

Пример. решаване на уравнението

Обръщаме се към основата 4 по формулата на преход към друга базова :.

Пример. решаване на уравнението

Решение. DHS: х-1> 0 х> 1.

Ние се получи уравнението :. Подмяна.

Пример. Решете уравнението.

Решение. Ние намерите някои резултати. След това, извършването на проверките. търсене DHS в този случай трудоемко.

Пример. Решете уравнението.

Решение. DHS :. Извършване на потенциране:

Къде отговор. х = 8.

Пример. Решете уравнението.

Решение. Сменете намери резултат от теста TCC.

Пример. Решете уравнението.

Оригиналният уравнение може да се представи като:

Виждаме, че х = 13  TCC защото 13 февруари> 0.

Пример. решаване на уравнението

Защото, ние получаваме уравнението:

Пример. Решете уравнението.

Решение. DHS: х-1> 0 х> 1.

Нека log3 (х-1) = у, тогава ние получаваме уравнението: където и

Пример. Решете уравнението.

Следователно, няма реални корени.

Отговор. ,

Пример. Решете уравнението.

^ 6.7. Решение на системи за експоненциални и логаритмични уравнения

При решаването експоненциални и логаритмични уравнения се използват същите методи като за решаване на системи за алгебрични уравнения - линейни комбинации от смяна.

Пример. Решете системата:

Решение. DHS: х-у> 0 х> у.

Пример. Решете системата:

Тъй като ние получаваме система

че замяната е под формата:

Връщайки се към оригиналните променливи.

^ 6.8. Решение експоненциално и логаритмични неравенства

Експоненциална оценка на a1 еквивалентно на неравенството (неравенство знак остава), а в 0 a1 еквивалентно на неравенството (неравенство знак е наопаки).

Логаритмична неравенството на> 1 е еквивалентна на системата на неравенството и при 0 + 1 х> х 5 + 1 120.

Състояние проблемни отговаря х = 3.

Пример. Решете неравенството.

Решение. Това неравенство е еквивалентно на системата на неравенството:

Решихме всеки неравенство интервали от системата.

Пресечната точка на тези комплекти осигурява решение на системата :.

Пример. Решете неравенството.

решение неравенство се свежда до решението на агрегат, състоящ се от две системи на неравенството:

Разтворът на 1):

Разтворът от 2):

Решения съчетават системи. Отговор.

Пример. Решете неравенството.

Наръчник по математика за допълнителни класове с ученици от 1 курс на редовно обучение от всички специалности, както и чуждестранни студенти.

Съставител Елена Семьоновна Аркхипова,

Людмила Александровна Bystrova,

Валентина P. Protopopov

Евгения Serafimovna Pahomova,

Валентина Семьоновна Sitnikova.

Отговаря за освобождаването на SA Staniszewski

Хартия офисна Usl.- фурна. лист. 5.0. Uch.-ed. л. 5.5.

Зак. № Circulation 150 копия.

KNAME, 61002, Харков, бр. Revolution 12

Сектор офсетов печат ICC KNAME

61002, Харков, бр. Revolution, 12, KNAME

§6 безкрайно малки и безкрайно големи функции
Определяне е (X) функция се нарича безкрайно като х → x0 (или x0) ако е (X) = 0

От изследването на концепциите за "определяне и нули"
Много от процесите и явленията, за които знаем, са описани по функция. Тъй като същността на понятието функция, описана в много проучвания.

§3 Понятието функция граница
Да предположим, че функцията се определя на подмножество на реалните числа, а горната граница, определена точка. Спомнете си, че вътре.

III. диференциално смятане
Нека функцията определя на интервала (евентуално безкрайно). Вземете произволна точка и произволна Нека му се даде печалба.

III. Glavavi диференциално смятане: производни и диференциали
Нека функцията определя на интервала (евентуално безкрайно). Вземете произволна точка и произволна Нека му се даде печалба.

V: Граница и непрекъснатост
Понятието функция граничи един от най-важните в по-високите математика. Представяне на теория на границите започна с това, функцията на естествени граници.

Лабораторни упражнения №10 функцията "Търси Solutions"
За да направите това, да създадете таблица на функционалните стойности. В колона А, като се започне от първия ред, влиза стойности X: 0, 0.2, 0.4, ..., В1 да влезе в клетката.