Долепени оператори и тяхната матрица - studopediya

Определение 11.1. Линеен оператор А * се нарича долепени оператор А. ако

Въпросът естествено възниква: има за конкретна конюгат на А?

Teorema 11.1. Всеки линеен оператор А има само конюгат оператор A *.

Доказателство. В основата на ортонормален пространство V ф 1. ф 2, ..., ООН. Всеки линеен оператор А. V ®V в тази база матрица А = отговорен. аз. к = 1, 2 п. Да - матрицата, получена от транспониране на матрица A. Това съответства на линеен оператор Б. след това

По този начин, е доказано, че за всеки линеен оператор в краен двумерен Евклидово пространство има долепени оператор A *. матрица, която във всеки ортонормирана база е транспозиция на матрица оператор А. Уникалността на оператор A * От свойствата на долепени оператора и се оказа по-горе.¨

Е лесно да се види, че оператор на *. конюгиран линеен оператор А. Това е линейна.

По този начин, оператор А * е линейна и съответства на матрица A *. Следователно, съгласно формула (11.1) има формата на матрица връзка

Конюгираните оператори имат следните свойства:

Справедливост свойства 1 ° -5 ° произлиза от свойствата на матриците на транспониране.

ПРИМЕР 1 Нека - превърне Euclidean равнина R 2 под ъгъл й с матрицата

в ортонормирана база аз. к. След това матрицата на оператора на долепени в тази база е

Следователно, A * - въртене равнина под ъгъл в обратна посока J ·.