Детерминанти на матрици на поръчки 2 и 3

За квадратна матрица въвежда нова концепция - детерминантата на матрицата. В детерминанта на квадратна матрица ще бъде означен с Det А, и го определят чрез индукция.

Детерминанта на матрицата на ред 2

е число изчислява чрез следното правило: Det А = a11a22-a12a21

Диагонал на квадратна матрица, която отива от горния ляв влизането маса до долния десен, нарече главен диагонала на матрицата. Размер, който се простира от горния десен елемент към долната отляво, наречен вторичен диагонална матрица.

По този начин, за да се изчисли детерминантата на матрицата на ред 2 от необходимостта да се работи елементи, които са по главния диагонал, изважда продуктови елементи, които са на вторичния диагонал.

За определящ фактор за характера е въведена

Както се вижда от (1), детерминантата на матрицата с ред 2 е алгебрични сумата на две условия. Всеки от компонентите е постигането на два елемента, отколкото включва един елемент от първия ред и един елемент втория ред, един елемент от първия колоната и елемент от втория колона на дадена матрица. С "+" да вземе продукт на елементи от главния диагонал и "-" - продуктът на вторичните диагоналните елементи.

В детерминанта на матрицата на третия ред или третия ред, е номер, който се изчислява по формулата:

Този брой представлява алгебрични сумата от шест условия. Във всеки термин включва точно един елемент от всеки ред и всяка колона на матрицата. Всеки термин включва продукта от три фактора.

Признаците на детерминанта с които членовете са в намирането на формула на детерминанта на третия ред могат да бъдат определени с помощта на горната схема, която се нарича правило или изключи Sarrusa триъгълници. Първите три условия са взети със знак плюс и се определят чрез теглене на ляво, а на следващите три условия са взети със знак минус, и се определят от дясната фигура.

64. * малолетните и кофактори. Теорема на разширяването на детерминанта по ред или колона. Определящо парче.

Minoromelementa матрица за п се нарича фактор на (п-1) -ти ред на матрицата А, получен чрез изтриване на аз-ти ред и к та колона.

При изпълнение на детерминанта на (п-1) -ти ред, първоначалното детерминанта на предаване линия елементи, които не са взети под внимание.

кофактор Aij елемент Aij на матрицата на за п се нарича малка приема със знак в зависимост от броя на номерата на редовете и колоните:

т.е. кофактор съвпада с непълнолетния, когато размерът на хоризонталните и вертикални номера - четно число, и е различен от по-малкия знак, когато сумата на реда и колоната - нечетно число.

Теорема на разширяването на определящ фактор за покупки. В детерминанта на матрица А е равна на сумата на продукти от елементи ред на техните кофактори:

.

Теорема на разширяването на детерминанта на елементите на колоната. В детерминанта на матрица А е равна на сумата на продуктите от елементите на колоните на техните кофактори:

.

Теореми по въпроса за разширяването на детерминанта са важни теоретични изследвания. Те установяват, че проблемът с изчисляване на определящ фактор за н-ти ред се свежда до проблема за изчисляване на факторите, определящи п (п-1) -ия ред.

Детерминанта на продукт на матрици е продукт на детерминантите на квадратни мултипликатори, т.е..

Ако всички елементи са нула линия (колона) матрица с изключение може би един елемент, след това детерминантата на матрицата е равен на продукта на този елемент за неговия кофактор

65. * малолетните и кофактори. Формулата на инверсната матрица. правило Крамър за решаване на системи линейни уравнения.

Малолетните и кофактори. Нека F - скаларно поле и A = || # 945; ик || ∈F MXN;

Определение. Детерминанта подматрица к-тия ред на матрицата се нарича малка к-ти за матрица A. Мала първи порядък матрица А са нейните елементи.

Определение. В детерминанта на матрицата, получен от квадратна матрица чрез изтриване ред и к-тата колона на аз-ти се нарича малка елемент # 945; IK, означен с Мик. Продуктът от (-1) I + к Mik наречен алгебрични допълнение елемент # 945; IK и обозначен с Aik.

Обратното матрицата - матрица А -1. който, когато умножена по първоначалните резултати матрица в единична матрица Е.

правило Крамър за решаване на системи линейни уравнения. Ние считаме, че система от п линейни уравнения с наш променливи:

по целия терен F. Нека Базова матрица на системата: A = || # 945; ик ||.

Ако | A | 0, тогава системата на линейни уравнения (1) има уникален разтвор определя по формулата:

66. * Свойствата на детерминанти.

Основните свойства на детерминанти:

Имот 1. детерминанта на квадратна матрица А и транспонирана матрица т А равни.

Имоти 2. В обмена на две колони (редове) на детерминантата на матрицата променя знака.

Имота 3. определящ фактор като две от същата колона (ред) е нула.

Имота 4. Ако всички елементи на всеки ред (колона) на матрицата се умножават по скаларна # 955;. е скаларна # 955; умножена детерминанта на матрица А.

Имота 5. Ако всеки елемент на аз-ти ред (колона) на квадратна матрица М е сумата от условия, детерминантата на матрицата е равна на сумата на м детерминанти, и в матрицата на първия идентификатор в I-та линия (I-та колона) са първите събираеми втора матрица - второто, и т.н. останалите линии са същите, както в матрица А.

6. Ако имота всяка колона (ред) на детерминанта матрица добавят още колона (ред) на матрицата, умножена по произволен скаларна, тогава детерминанта не се променя.

Имота 7. Ако всяка колона (линия) на квадратна матрица е линейна комбинация от останалите колони (редове) на матрицата, тогава детерминанта е нула.