Броят д

Теорема. Последователността с общия термин има ограничен срок.

Забележка. д символ се използва за означаване на това ограничение.

Броят д е ирационално, приблизителната стойност на които е равна на

Доказателство. За първи път се покаже, че е монотонно увеличаване последователност. Според binomu Нютон

Сравними изрази и.
Първо, тези два израза съдържат само в положителна посока.
Второ, започвайки от втория план, всеки термин в израза за повече от съответния срок за експресията, като

На трето място, изразът се състои от голям брой думи. Ето защо,

След това се докаже, че последователността е ограничен. Всъщност, първият елемент на всяка монотонно увеличаване последователност е неговата най-голяма долна граница и по този начин за всички положителни стойности на п.

Ние сега да докаже съществуването на горната граница. Очевидно е, че

В допълнение, за всички к> 3. След това

Дясната ръка на това неравенство е сума от гледна точка на намаляване на експоненциално. Във всеки брой действа като горната граница на тази сума. Така, последователността с общия термин

Той представлява ограничена монотонно увеличаване последователност и следователно има ограничен срок - съгласно теоремата на монотонни последователности.