Базата за измерение на пространството за вектор и
5.2. Измерение и основи на векторни пространства
Вектор пространство се нарича п двумерен. ако може да се намери н линейно независими вектори, но повече от N линейно независими вектори не съдържат.
Размерът на пространството - максималния брой съдържаща се в него линейно независими вектори.
Размерът на пространството, ще бъдат обозначени с неясен.
Например, един плосък измерение на всички вектори е равно на 2, пространственото измерение на векторите е равна на 3.
А пространство като краен измерение, наречено краен. Пространството, в което можете да намерите на произволен брой линейно независими вектори се нарича безкрайна.
Набор от N линейно независими вектори на N - двумерен вектор пространство се нарича основа.
Teorema5.1.Kazhdy линеен вектор п - тримерно пространство могат да бъдат представени, и освен това, единственият начин като линейна комбинация на базисни вектори.
Доказателство. Да - произволна база и пространството. Тъй като всички N + 1 вектори на линейно зависими, зависи по-специално, векторите. т.е. Там не са едновременно равни на нула числа. такава, че
В същото време. в противен случай, най-малко един от номерата ще бъде различно от нула, и векторът ще бъде линейно зависими. Ето защо,
Поставянето. Ние ще имаме.
Това представяне чрез само. Това се доказва от противоречие. Числата се наричат координатите на вектора в базата.
Teorema5.2.Esli - линейно независими вектори на всеки вектор, изразени по отношение на линейно. тези вектори представляват основа.
Доказателство. Вектори. от хипотеза, са линейно независими. Ние показваме, че в пространството на не повече от N линейно независими вектори. Ние избираме произволен вектор. , По предположение, всеки един от тях може да се изрази по отношение на линейна.
Тъй като броят на редовете на тази матрица е равно на п. след нейното място в класацията е не по-голямо от п. и поради това, сред своите колони има не повече от N линейно независими. Но тъй като M> п. на м колони на тази матрица са линейно зависими. Следователно линейно зависими вектори. По този начин, в пространството н пространствено - - нейната основа.