Законът за големите числа и лимит

7. закон за големите числа и да ограничи

Според закона за големите числа в широк смисъл се отнася до общия принцип, че на формулировката на акад AN Колмогоров, кумулативният ефект от голям брой случайни фактори води (при определени много общи условия) до резултата, почти независимо от случая. С други думи, когато голям брой случайни величини от средната резултат престава да бъде на случаен принцип и може да се прогнозира с висока степен на сигурност.

Според закона за големите числа в тесен смисъл се отнася до редица теореми, всеки от които е за тези или други условия, установен факт приближава средните характеристики на голям брой тестове за някои определен постоянна. Преди да се обърнат към тези теореми, ние смятаме, Марков и Chebyshev неравенства.

7.1. неравенство на Марков (Лема Chebyshev)

Теорема. Ако случайна променлива отнема само не-отрицателни стойности, а очакванията са, а след това, за всяко положително число неравенство

Доказателство. Доказателство за дискретна случайна променлива. Подредете своите ценности във възходящ ред, от които част от стойността на тази част от стойността

Ние пишете израза за очакването.

където - вероятността случайна променлива ще се стойности, съответно.

Махат се първите не са отрицателни термини (припомним, че всички), ние получаваме.

Смяна на неравенството по-малко ценности. Ние стават по-силни или неравенство.

Сумата от вероятностите в лявата страна на това неравенство представлява сумата от вероятностите на събития

Тъй случай, и обратното, след това се замества с това неравенство експресия. Ние идваме при друга форма на неравенство Марков:

неравенство на Марков е приложим за всички не-отрицателни случайни величини.

7.2. неравенство Chebyshev на

Теорема. За всяка случайна променлива със среден и отклонения, неравенството Chebyshev е :. къде. ,

Ние прилагаме неравенството на Марков до случайната променлива. приема като положителна броя. Ние се получи.

Тъй като еквивалентно на неравенството. и разсейването на случайна променлива. ние се получи необходимата неравенство.

Като се има предвид, че събитията и обратното, неравенството Chebyshev може да бъде написано в друга форма:

Chebyshev неравенство и в двете форми е приложим за всякакви случайни величини. Тя определя горната граница и долната граница на вероятността за въпросното събитие.

Пишем Chebyshev неравенство за някои случайни величини:

а) за случайна променлива. имащ биномно разпределение със средна стойност и дисперсия. ;

б) за събитието честота в независими проучвания, във всяка от които може да се случи с еднаква вероятност. и като дисперсия.

Забележка. Ако очакването и отклонението на случайната променлива. правото на неравенствата, Марков и Chebyshev ще бъде отрицателен, но в различна форма ще бъде по-голямо от 1. Това означава, че използването на тези неравенства в тези случаи ще доведе до тривиално резултат: вероятността на дадено събитие повече от отрицателно число или по-малък брой, надминавайки 1. Но такова заключение е очевидно и без данни за неравнопоставеност. Естествено, този факт намалява стойността на неравенствата, Марков и Chebyshev за решаване на практически проблеми, обаче, не отнема от техните теоретични стойности.

7.3. теорема Chebyshev

Теорема. Ако отклонението на независими случайни величини

. ,... се ограничава до една и съща константа, с неограничен увеличение на броя на средната аритметична стойност на случайни величини клони в вероятност на средната стойност на техните математически очаквания. ...,. т.е.

Първо ние доказваме формула, а след това да разберете значението на израза "сближаването на вероятностите".

неравенство Chebyshev да се получи средно аритметично от случайна променлива, т.е. за

Ние намираме оценката на очакване и дисперсия:

Тук сме използвали свойствата на очакването и дисперсията, и по-специално, че случайни променливи. , ..., са независими и следователно, вариацията на тяхната сума е равна на сумата на отклонения.

Пишем неравенството за случайна променлива

Тъй като е доказано. след това. и от разликата в Теорема се премести в по-силна неравенството:

защото когато стойността отива към нула, ние се получи желаната формула.

Ще подчертая значението на теоремата Chebyshev му. С голям брой случайни величини. , ..., е практически сигурно, че средната им - стойност на случаен принцип, някак си малко по-различно от не-случайна стойност. т.е. на практика престава да бъде на случаен принцип.

Следствие. Ако независими случайни променливи. ... имат същите очаквания, равен. и тяхната дисперсия ограничава до една и съща константа, неравенството на доказателствата под формата:

теорема Chebyshev и произтичащата от него са от голямо практическо значение. Например, една застрахователна компания трябва да зададете размера на премията, която трябва да плати на застрахователя; в този случай застрахователната компания се задължава да плати в случай на настъпване на застрахователното събитие определена застрахователна сума. Като се има предвид загубата на честота застрахован, когато застрахователното събитие като случайна променлива, и с известни статистика такива случаи, е възможно да се определи среден брой Средната загуба при настъпване на застрахователни събития, които в рамките теорема Chebyshev с висока степен на увереност може да се разглежда като почти произволна стойност. След това въз основа на тези данни и на предложената застрахователната сума се определя от размера на премията. Без да се взема под внимание в закона за големите числа (теорема Chebyshev е) възможността за значителни загуби на застрахователното дружество (ако подценяване на размера на застрахователната премия) или загуба на привлекателност на застрахователни услуги (за помпане на размера на вноската).

Друг пример. Ако е необходимо да се измери с определена стойност, която стойност е вярно. извършва независими измервания от такъв мащаб. Нека резултатът от всяко измерване - случайна променлива. Ако няма систематична грешка в измерването (което наруши резултатът от измерването в една и съща посока), е естествено да се предположи, че във всеки един. След това въз основа следствие от Теорема Chebyshev средна аритметична на резултатите от измерванията за вероятности се доближи до истинската стойност. Това дава основание за избора на средно аритметично като мярка за истинската стойност.

Ако всички измервания са направени със същата прецизност, характеризираща се с дисперсия. След това дисперсията на средната стойност е равна на

и нейната стандартна отклонение равно. Полученото съотношение е известен като "коренът на правилата", казва, че средната очаквана промяната в средните пъти по-малко отклонение на всяко измерване. По този начин, чрез увеличаване на броя на измерванията може произволно да намали ефекта на случайни грешки (но не системен), т.е. се увеличи точността на определяне на действителната стойност.

7.4. теорема и Поасон Бернули

TeoremaBernulli. Честотата на събития в повторни независими проучвания, във всяка от които може да се случи с еднаква вероятност. с неограничен увеличение на броя клони в вероятност да вероятността за това събитие в отделен тест:

Сключването на теоремата следва директно от неравенството Chebyshev за честотата на събитие в.

Бележки. теорема на Бернули е следствие от Теорема Chebyshev, тъй като честотата на събития могат да бъдат представени като средна стойност от независими алтернативни случайни величини с един и същ закон разпределение. Доказателство за Теорема (обемист) вероятно без позоваване на теорема (неравенство) Chebyshev. Исторически погледнато, тази теорема се оказа много по-рано по-обща теорема на Chebyshev.

теорема на Бернули осигурява теоретична основа подмяна неизвестен вероятно събитие неговата честота, или статистическа вероятност, получена при повторни независими проучвания, проведени при едни и същи условия на комплекса. Например, ако вероятността от раждане на момчето не ни е известно, че както си стойност можем да приемем честота (статистическа вероятност) на това събитие, което е известно от много години на статистически данни, е около 0515.

Директен обобщение на теоремата на Бернули е теорема на Поасон, когато вероятността за събитие на всеки друг вид тест.

Поасон теорема. Честотата на събития повтори проучвания, във всяка от които може да се случи с вероятности. ако неопределен увеличаване на вероятността брой клони към средните вероятностни събития в отделни теста, т.е.

теорема на Поасон следва веднага от теореми Chebyshev, ако случайни променливи, за да разгледат алтернативни случайни величини със законите с параметри разпределение. Тъй като очакванията на случайни величини са, съответно,

. ,.... и тяхната дисперсия е ограничен до един номер, тази формула следва директно от теорема Chebyshev.

Важната роля на закона за големите числа в теоретичните основи на методите на математическата статистика и нейните приложения е довело до поредица от проучвания, насочени към разбирането на общата приложимост на разпоредбите на този закон, за да последователността на случайни величини. По този начин, в една теорема Марков се оказа граница равенство на валидност за зависими случайни величини, предвидени.

Например, температурата в определена област всеки ден от годината - стойността на случаен принцип, при условията на значителни колебания през годината, и зависими, заради лошото време всеки ден, явно, оказва значително влияние върху времето на предишните дни. Въпреки това, средната температура

почти без промяна за района, в продължение на много години, като почти не случайно, предварително определена.

В допълнение към различните форми на закона за големите числа в теорията на вероятностите, все още има много форми на така наречения "силен закона за големите числа", което показва не "конвергенция в вероятностите" и "конвергенция с вероятност 1" различни средни случайни величини със средното ниво на неслучайни. Въпреки това голямото право на голям интерес в теоретичните изследвания, а не толкова важно за прилагането му в икономиката.

7.5 централен лимит теорема

Горната закона за големите числа се определи, че подходът в средата на голям брой случайни величини за определяне на константите. Но не се ограничават до модели, произтичащи от сумата на случайни величини. Оказва се, че при определени условия комбинираните ефекти на случайни променливи води до известно, а именно - към нормален закон за разпределение.

централната лимит теорема е теорията на групите, посветени на създаване на условия, в които има нормално разпределение. Сред тези теореми важно място принадлежи на теоремата на Ляпунов е.

TeoremaLyapunova. Ако - независими случайни величини, всяка от които има очакване. дисперсия. абсолютна централната момент на третия ред и

правото на сумата за разпределение, ако в съответствие с качествата на нормалната закона означава, че

където - функция на Лаплас.

Смисълът на условие е, че сумата не е била условията, чието въздействие върху разсейването на поразително голям в сравнение с влиянието на всички останали, и не трябва да има голям брой случайни величини, ефектът от които е малък в сравнение с общия влиянието на другите. По този начин, теглото на всяка отделна дума трябва да са склонни към нула с увеличаване на броя на термините.

Следствие. Ако - независими случайни величини, в която има еднакви очаквания. абсолютната дисперсия и трети ред централните моменти. размер на закона за разпределение на произволно близко до нормалното закона.

Доказателството се свежда до проверка на състоянието

По-специално, ако всички случайни величини са идентично разпределени, законът на разпределение на сумата от безкрайно близко до нормалното закона.

Сега имаме шанс да се докаже за пореден път на местно и неразделна Moivre-Лаплас теорема.

Помислете случайна променлива. където - брой случаи на събитието в независими изследвания, във всеки от които може да се появи с еднаква вероятност. т.е. - случайна променлива като биномиално закона за разпределение, за които математическото очакване и дисперсия.

Случайният променлива. както и случайна променлива. Общо казано, дискретна, но голям брой неговото значение тестове са разположени на оста х, така претъпкани, че да може да се разглежда като непрекъснат с вероятност плътност.

Ние считаме, числени характеристики на случайна променлива. използване на свойствата на очакване и дисперсията:

Поради факта, че случайната променлива е сума от независим алтернативен случайни величини, също случайна променлива е сума от независими, идентично разпределени случайни величини и поради това, въз основа на централната лимит теорема има голям брой на разпределение в близост до нормализира нормалното разпределение с параметри. ,

Използването на имуществото на нормален закон, ние получаваме. за нормализирана случайна променлива.

Наистина, неравенството е еквивалентно на. Поставянето. и като се има предвид, че. Ние се получи.

Вероятността, че дадено събитие да се случи отново в независими тестове може да се запише приблизително като:

Колкото по-малко. на по-точна приблизителна равенството. Минимална (число). Ето защо, ние може да пише :. къде. ,

За малко да има. при което - плътността на стандартен нормално разпределена случайна променлива с параметри. , т.е.

Ако приемем, че се получи локално формула DeMoivre-Лаплас:

.
Забележка. Трябва да се внимава, като се използва централната лимит теорема в статистическите изследвания. Скоростта на конвергенция към нормалния закона по същество зависи от вида на условия за дистрибуция. Например, сумиране на равномерно разпределени случайни величини вече при 6-10 гледна точка може да бъде постигната в достатъчна степен близо до нормалното разпределение, като същевременно се постигне една и съща близост когато сумиране - разпределени случайни величини ще се нуждаят от повече от 100 думи.

7.6. Решаването на типични задачи

Пример 1. Средният брой на повикванията, които пристигат на комутатора за растителна за един час, равен 300.Otsenit вероятност в рамките на следващия час броя на обажданията на ключа: а) надхвърля 400; б) не е по-500.

Решение. а) състояние. Ние използваме формулата

. След това. т.е. вероятността, че броят на повиквания надвишава 400, е не повече от 0,75;

б) използването на формулата. След това. т.е. вероятността, че броят на повиквания е по-малко от 500, няма да бъде по-малко от 0.4.

Пример 2. Сумата от всички депозити в банковия клон, е 2 милиона рубли. и вероятността произволно взет принос няма да надвишава 10 хил. рубли. равно на 0.6. Какво може да се каже и за броя на участниците?

Решение. Да - на размера на приноса на шанс взето, и - броят на всички депозити. Тогава от условията на проблема, от това следва, че размерът на средния депозит (хиляда. Разтрийте.). Според неравенство на Марков. или

Имайки предвид, че. Ние се получи. къде. т.е. броят на инвеститорите, е не повече от 500.

Решение. а) нека - консумацията на вода от животновъдна ферма. При условие. Използването Марков неравенство. Ние се получи. т.е. не по-малко от 0,5;

б) дисперсия. Тъй като границите на интервала симетрични по отношение на очакването. е да се оцени вероятността от такива събития могат да кандидатстват Chebyshev неравенство.

т.е. не по-малко от 0.96. Този проблем е вероятно сметни-STI събития намерени с помощта на Марков неравенство. е прецизирана с помощта на неравенството Chebyshev.

Решение. Чрез хипотеза, вероятността, че дефектната част е равен. Броят на дефектните части има биномно разпределение и неговите граници 60 и 100 са симетрични около средната стойност.

Следователно, оценката на вероятността от желаното събитие

могат да бъдат намерени от формулата:

т.е. не по-малко от 0,808.

Прилагането Следствие неразделна теорема на Лаплас Muavra- получи

т.е. вероятността от такива събития е приблизително равна на 0,979. Този резултат не противоречи на оценката намерени неравенството Chebyshev. резултати Time-контрастни, защото неравенството Chebyshev се получи по-ниска обвързани оценки на вероятността от желания съжителство за всяка случайна величина, така и пълният теорема на де Moivre-Лаплас дава достатъчно точна стойност на себе си (по-точно по-голям) вероятност, тъй като тя се отнася само само за случайна променлива с определена, а именно - биномно разпределение.

Законът за големите числа и лимит

Преброяват десетични числа по-големи от 4 и не по-голяма от 19, при което записът в троен край нотация резултат е два различни номера. В отговора си в цяло число

Урок по математика в 2-ра степен. Образователната система "Училище 2100"