задача 206

206. Задачата на разсейване в поле на централните сили

Частиците, описан от Дирак плоска вълна с положителен helicity се разсейва на сферично симетричен потенциал. За да се получи формула за асимптотичната поведението на разсеяна вълна, приемайки, че фазата на разсейване може да бъде взето от решенията на радиалните вълнови уравнения.

Решение. Както е показано на задача 201, има два вида радиални уравнения.

Лесно е да се види, че потенциалът за намаляване на по-бързо решение на този система от уравнения асимптотично се държат в съответствие с формулите

относителна фаза изместване е функция на амплитудата в даден произволно нормализиране са свързани помежду си така, че в не-релативистично граница когато функции са радиални части, съответно голям и малък компонент spinor вълна. Ако е избрана функция, реалното, функцията е чисто въображаемо. Фаза смени, определена от интегриране на уравнения (206.1a) при гранични условия. В нерелативистката граница, така че можете да пишете за дълги разстояния

Асимптотичната поведението на разтворите на тази система се определя от формули

при което фазата на разсейване обикновено се различава от фазата на разсейване Тъй като системата от уравнения (206,16) се получава от уравнения (206.1a) чрез промяна на параметър от параметър в граница функция не-релативистично става голяма част от радиалната компонента на spinor на вълната, и функцията е радиалната част от нейната ниска компоненти. По този начин, в нерелативистката граница имаме sledo-. ствие,

Както видяхме в задача 201, за всяка стойност на квантовата номер има две вълна spinor и описващ състоянието, в което проекцията на общото инерция по оста Z е значително (от гледна точка на тяхното поведение асимтотична е от вида

Общото решение винаги може да се запише във формата на суперпозиция на конкретни решения на по-горе:

Тук, индексът на сумиране може да бъде заменен по такъв начин, че всички суми, става дума само за сферични хармоници на първо ред. В резултат на асимптотичната поведението на експресията (206.5) могат да бъдат написани като

В неговата структура, последния израз е много подобен на плоска вълна (205.11), в който тя преминава, ако всички стойности в този контекст, е препоръчително да напише самолет вълна под формата на

Както е известно, на граничното условие за проблема с разсейване е, че когато разликата

съдържа различни сферични вълни не съдържат пропорционална и приближава сферична вълна. Само в този случай функцията може да се идентифицира с разпръснати вълна. С оглед на формула (206.6) споменатият граница състояние води до следните четири уравнения за определяне

Тези уравнения са изпълнени единствено и само ако

Използвайки последните отношения може лесно да се покаже, че асимптотичния поведението на разпръснати вълна се описва с формула

Задачата 207. Smooth потенциал стъпка

На потенциал стъпка, описано с формулата

от отрицателната Z попада плосък Дирак вълна

положителен helicity определи коефициента на предаване на различни височини потенциал стъпка:

Характерни черти на случаите, показани на фиг. 72.

Решение. Потенциалът, представено с формулата (207.1), ако се променя от стойности за стойности на определени стойности на потенциалната промяна действително се случва в близост до точката, в дебелината на слоя Гледан потенциал представлява конкретен случай на 197 потенциален проблем.

Фиг. 72. Потенциални стъпки на различни височини. Области енергийни стойности допустим частици са засенчени.

За положителен helicity компоненти на вълновата функция изчезне, и проблемът намалява до решаване на система от две диференциални уравнения:

Вместо компоненти въвеждат тяхната симетрична и antisymmetric комбинация:

За функции вместо (207.3) се получава чрез проста система от уравнения

от която е лесно да се премахне един от тях, например Имаме

Решаването на това уравнение с подходящи гранични условия, ние след това да използвате второто уравнение на (207.6), ние откриваме функция

Ако вместо Z да се премести в нова независима променлива

след това коефициентите на диференциално уравнение (207.7) ще бъдат рационални функции на х. Като се има предвид съотношението

и въвеждане на безразмерни параметри

(Брой играе ролята на енергия в нашия блок), можете да дадете на уравнението (207.7) в следния вид:

Последното уравнение след очевидна промяна

намалява до уравнението за хипергеометричното функцията

В бъдеще, ние се нуждаем, както и сега ще видим, че единственото решение, дали редовно Това решение има формата

Помислете за граничните условия. Според връзка (207.8), ние имаме

Освен това, съгласно уравненията (207.10) и (207.13)

Следователно, величината е винаги чисто въображаема параметър пропорционална на инерцията на частицата инцидент в съседство с хипергеометричното функция (207.15) могат да бъдат трансформирани с формула

Така, от (207.8) и (207.15) има най-

Като се има предвид, че по-нататъшно

Изразът за амплитудата А е различен от този израз за амплитудата само в знака на стойността Както може да се очаква на базата на физически съображения, функцията за големи отрицателни стойности на Z е суперпозиция на инцидент вълна с амплитуда А и отразената вълна

с амплитуда на В. По този начин, особено разтвор (207.16) отговаря на граничните условия в големи отрицателни стойности на Z. Също така той се състои от наслагване на два вида вълни. Можете да проверите това чрез заместване асимптотичния разтвор (207,17) в уравнението (207.6). Тази замяна дава

електрически ток плътност [см. задача 198, съотношението (198.13)] ако изхвърли елемент намеса се състои от две части. В действителност,

където плътността на тока на инцидента и отразени съответно частици

и енергията и инерцията на частиците са свързани с

Сега се обръщаме към обсъждане на поведението на вълновата функция в дясната потенциал стъпка, т.е.. Д. В близост до мястото, или, с други думи, ако Формули (207.12) и (207.15) следва незабавно да

където, съгласно (207.10) и (207.13)

Сега трябва да разглобите поотделно трите случаите, посочени в отчета за проблем. Ако някой (случаи А и Б), след положителна стойност по този начин действителната стойност. Ако (случай б), стойността е чисто въображаемо, а реалната стойност. В последния случай, формата на експресията

(207.24), показва, че ние се занимаваме с пълно отражение на вълната на инцидент, така че коефициента на отражение

Тя трябва да бъде равен на единица.

Това е лесно да се провери, като се да изразят амплитуди (207.18a) и (207,186) и използване на самоличността

Тъй като стойността е винаги чисто въображаемо,

третият фактор в (207.27) не дава принос към абсолютната стойност на съотношението, ако действителната стойност (в случай б), вторият фактор е и отношението на две комплексни стойности спрегнати и поради това не допринася за абсолютната стойност на връзката под въпрос. По този начин, ние имаме

Ето защо, от (207,26) наистина следва, че 1. В случая на А и Б - имагинерна стойност) в десния край има бягаща вълна, тъй като

и, освен това, в съответствие с уравнение (207.6)

В тези изрази импулса минута частици, и електрически ток плътността на частиците в миналото от (207.20) има формата

Следователно, по отношение на експресията (207.22), за да се получи формула коефициент предаване

Сега, за да се изчисли стойността, ние освен самоличността

Ние използваме общата формула

като се използва (207.18a), получаваме

При заместване на последния експресията във формулата (207.29), факторът появява в него

който е лесно да се покаже единство. Наистина, подмяна и като се има предвид, че тук

Така, експресията на коефициента на предаване става

В знаменател на този израз е удобно да се разделят присъщата стойност пропорционална на продукта от височината на стъпка своята ширина и е независим от енергията на частицата:

В случай на тъй като ние имаме или Този случай може да се нарече нормално: то се извършва в не-релативистична теория. От друга страна, в случаите, и следователно, вълна прониква в региона на отрицателни енергии (вж. Фиг. 72), където положителен импулс се придружава от отрицателен електрически ток. В рамките на или

експресията (207.32) опростява и под формата

Следователно е ясно, че пропускливостта потенциал стъпка в прехода от положителна на отрицателна енергия пада бързо с увеличаване на "ефективния размер" стъпка Тъй като такъв, тогава експонат в израза за коефициента на предаване дава своя принос, което със сигурност е по-малко от

където - дължината на вълната Compton.