За да помогне на издълбаване
Тримерно пространство - това е линейно пространство. в които има ограничен основа - генериране (пълно) линейно независима система на вектори. С други думи, в това пространство има ограничен система за линейно независими вектори линейна комбинация които могат да бъдат представени с всеки един от пространство вектор.
Основа - е (едновременно) и минимално генериране (пълно) система и максимална линейно независима система на вектори. Всички бази съдържат същия брой елементи, който се нарича размера на пространството за вектор.
Размери пространство, в което въведената скаларен продукт от неговите елементи се нарича Euclidean. Тримерно пространство, в което норма на елементи се нарича краен нормализирана. Наличието на вътрешния продукт или норма води до краен измерения показател.
Свойствата на крайни тримерни пространства
Всеки елемент х ограничен пространство X представен еднозначно под формата
при което - поле (или често), над която се третира пространство X. - база елементи. От това следва от определението за основа.
Също така, никакво основание в евклидово пространство може да се направи с помощта на ортонормален Schmidt ортогонализиране.
Всички бази на краен тримерно пространство, съставен от един и същ брой елементи. Този имот предлага добре дефинирани измерение на пространството.
Нека X - тримерно пространство и
Всички краен тримерно пространство на същите размери са изоморфни.
В краен двумерен евклидово пространство E се нарича ортонормирана база. ако.
Във всеки основа евклидовата prostranstveEsuschestvuet ортонормален.
1 # 61616;. Нека E дадени някои от тях, най-общо казано, не-ортогонална основа. Първо се изгради на основата на взаимно перпендикулярни елементи. Последователно изграждане на тези елементи ще се нарича процесът на ортогонализиране на основа.
Вземете. Елементът ще се търси във формата, където - постоянен. Се подбира така, че
достатъчно е да се
Имайте предвид, че. В действителност, тя трябва да бъде линейна зависимост, а това е в противоречие със състоянието на тези елементи, принадлежащи към основа (вж. Лема 7.2.2.).
2 # 61616;. Да предположим сега, че ние сме ортогонално елемент, и да вземат като елемент. Ние изискваме. След това, поради предположението, че имаме
Ние сега се покаже, че в този случай. Да приемем, напротив :. Въпреки това, тъй като всички елементи на конструкцията, има някои линейни комбинации от елементи, стигаме до линейна зависимост, което противоречи на хипотезата. Следователно ,.
3 # 61616;. процес ортогонализиране продължава, докато всички елементи на снимачната площадка, след което се нормализират достатъчно получените елементи за получаване на желаната основа ортонормален.
Процесът на Грам-Шмид ортогонализиране може да се прилага за всяка, включително линейно зависими, системни елементи на Euclidean пространство. Ако ortogonalizuemaya система зависи линейно, а след това на определен етап ние ще се свържем с нулев елемент, след боклука, който можете да продължите процеса на ортогонализиране.
Преходът от една ортонормирана база в друга.
Според определението 5.1.4. матрица задоволяване на връзката, се нарича ортогонална, с каквито и да било ортогонална за равнопоставеност = || E || и. В допълнение, в евклидово пространство са следните теореми.
Ортогонална (и само те) могат да служат като образци в прехода от една база в друга ортонормален.
Да разгледаме две различни ортонормирана база Е и преходен матрица от първата към втората основа. Тъй като в тези бази Грам матрица единица, тогава съотношението трябва да бъде равна или по-малко. Тъй като матрицата на прехода не-единствено число, а след това, в крайна сметка, ние имаме.
Разширената форма равенството приема формата, която в конкретния случай е получен в §2.9.
Ортогонално допълнение.
Нека E зададете подпространствения E1. Помислете за набор E2 # 61644; E елементи х. перпендикулярна на всички елементи на Е1.
В евклидово пространство, набор от елементи, E, така че нарича ортогонална допълнение на Е1.
Ортогонално допълнение podprostranstvayavlyaetsya триизмерна подпространствения измерение.
Нека E с дадена основа на ортонормален стандартно скаларно произведение и нека E2 ортогонално допълнение E1. Ние избираме база в Е1. След това, от състоянието на ортогоналност на произволен елемент х # 61646; Всяка E1 Е2 следва (вж. Теорема 7.4.1.) Елемент, или че в координатна форма,
Това хомогенна система линейни уравнения (което е неизвестни компоненти клетки), който определя ортогонална комплемента на Е2. Той има ранг, защото на линеен независимостта на елементите. След това, от Теорема 6.7.1. има линейно независими решения, които формират основата на подпространството Е2.
За всеки елемент х # 61646; E2 на състоянието на разследването е равенство. Но това означава, че за всеки у # 61646; Е1 е вярно, че е, Е1 е ортогонална допълнение към Е2 в Е.