Yatskin - алгебра
36.5. Съотношението на асоциация в комутативен пръстен. Associates (пропорционално) полиноми. нормализирани полиноми
Определение 36.3. Два елемента А; б на комутативен пръстен К е свързан. ако се различават с фактор обратимо. Този факт е показан от
(Забележка: за нов термин сдружението и асоциативност е напълно различна концепция!).
Съотношението "е връзка еквивалентност. (Symbol "се отнася до" най-претоварените "в част
Кали азбука: това се отнася до широк спектър от равностойността, отношения, които са в изобилие в математическата наука).
Нулевата елемент се свързва само със себе си. Елементи, свързани с един елемент, са обратими елементи и само те. Всичко на пръстена K е разделена на несвързани класове свързани елементи.
В пръстен Z две ненулев елемент; б са свързани единствено и само ако б = §a:
В пръстена К = P [х]; където поле P, две ненулеви елементи (полином), свързани [е (х) »г (х)] Ако и само ако
пропорционално. .. Т.е. различен ненулева постоянен коефициент [г (х) = CF (х); в 2 P ¤].
Последната формулировка почти не се променя с съотношения Р заместване поле на комутативен пръстен L; необходимо е само да се помисли, че ненулеВите постоянни елементи могат да съществуват в L. В случай на полиноми над терена във всеки клас на пропорционалните полиноми съществува уникален полином с водещи коефициент, равен на един. Такива полиноми, които наричаме нормализират.
Имайте предвид, 36.10. Последният термин не се приема от всички. Все по-често такива полиноми се наричат нататък. (Помислете за хода на учебната алгебра, терминът "даден квадратно уравнение.")
Въпреки това, терминът "намалява полином" много лошо се комбинира с един и същ термин "неснижаем полином" (която ще бъде въведена по-късно, това показва значително по-сложна и важна концепция). За да се избегне объркване, ние ще се съсредоточи върху понятието "нормализирана полином".
Имайте предвид, 36.12. Разглеждане на пръстена на полиноми К = L [X] на интегралната пръстен L: степен собственост (36,12) се съхранява за тези полиноми. (Всъщност, ключовият елемент доказателство правило 2 е наблюдението, се състои в това, че продуктът от най-високите коефициенти на две полиноми е различен от нула елемент, тъй като те самите са били водещите коефициентите. Това наблюдение е валиден в случай на полиноми с коефициенти в неразделна пръстен. )
Следователно имаме следното заключение: когато пръстен L е интегриран и пръстен L [х] е завършена.
По-конкретно (вж. Забележка 36.8), неразделна пръстени са полиноми на две (три или повече) променливи (подробности по-долу).
Може би искате да видите пример за комутативен пръстен непълноти?
Разглеждане на клас остатък пръстен по модул на съставно число, например, Z = 6 е 0; 1; 2; 3; 4; 5 гр: В този пръстен ще има 2 ¢ 3 = 0 (размножаване извърши модул 6).
Имайте предвид, 36.13. Ние вече каза, че, заедно с информация за полиноми е (х) две P [X] в ред на възходящите сили [вж. формула (36.1)]
е (х) = F 0 + е 1 х +. + F n¡ 1 х n¡ 1 + е N х N;
е к 2 Р (к = 0; 1;.; н); е п 6 = 0; (36,17)
използван като влизане в низходящ ред [вж. формула (34.2)]
е (х) = 0 х п + 1 х n¡ + 1. + A n¡ 1 х + A N;
К 2 Р (к = 0; 1;.; н); а 0 = 6 0. (36,18)
Комуникацията между тези две форми на запис се осъществява чрез връзките: (. К = 0; 1 ;; н) к = F n¡k.
първо Стилът на запис, ние използвахме в този параграф, когато се разглежда теоретичните въпроси. В практически приложения е много по-удобно да се използва вторият стил.
х 37. Съотношението на разделяне и с остатъчен делимост
пръстен от полиноми (над)
37.1. Разделянето с остатъка в полином пръстен. В предговора към това ръководство е дадена обобщена информация за аритметика число. По-специално, информацията задвижване на деление с остатък на цяло число от положителен. Това познато операция (от Начално) може да бъде модифициран така, че да е възможно да се разделят на остатъка от всяко число на всеки ненулев число.
А именно, за всяка една; б 2 Z (а = 0 6) има Q; R 2 Z; че
(В = воден + R) ^ (JRJ Наблегне на факта, че пръстен за остатък Z стойност следната функция "модул" (х 7 xjj!); действа от Z набор от числа. Сега нека се обърнем към пръстена P [X] на полиноми над поле P: Сега ние ще се окаже, че в този пръстен е възможно да се "организира" дивизия с остатък, както и ролята на функцията за проследяване ще играе функция на "степен" (36.5) [е (х) 7! ° (е (х))]; определено на снимачната площадка на всичко различно от нула полином и като стойности в набора от неотрицателни числа. Теорема 37.1. Нека P е област; е (х); г (х) две полиноми с коефициенти на P [е (х) = 0 6]. След това е (уникални) полиноми р (х); Н (х) две P [X]. такава, че г (х) = F (х) р (х) + Н (х); В действителност, влизането (37.5) е правилно, тъй като водещият коефициент 0 на полином F (х) е различна от нула и по този начин обратимо; В допълнение, експресията H 1 (х) = грам (х) ¡е (х) Q 1 (х) = B = 0 х m + б 1 х m¡ + 1. + B m¡ 1 х + б m ¡ ¡B 0 0 1 A ¡х m¡n ¡0 х п + 1 х n¡ + 1. + A n¡ 1 х + а п ¢ = = (б 1 ¡б 0 на ¡0 1 1) х m¡ + 1 (.) Това е полином от степен най-много m ¡1 [висши членове унищожени; (.) Обозначава символ полином от степен m ¡2; не изключва случай H 1 (X) = 0]. Получаване, така че гледката г (х) = F (х) Q 1 (х) + H 1 (х); където или 1 час (х) = 0; или ° С (з 1 (х)) [Търсени остатък Н (х) = H 1 (х)]. В третия случай, разделянето трябва да продължи прилагането на полином H 1 (х) по същия метод както по-горе се прилага към г (х): 2, където полином Н (х) или нула или по-малко от това на степента на ч 1 (х). От (37.6) и (37.7) получаваме представителството г (х) = F (х) (Q 1 (х) + Q 2 (х)) + Н2 (х). Начален процес води до тежки градуса Низходящо "междинни" остатъци до точката, където в някои етап (а позиция 6 m¡n 1) друг остатък з и (х) става нула или става по-малко от неговата степен п: Крайният резултат ще изглежда така г (х) = F (х) (Q 1 (х) + Q 2 (х) + + Q е (х).) + Н и (х); която съвпада с (37.2), ако ще се постави р (х) = Q 1 (х) +. + Q е (х) и 2. Сега докаже уникалността на определяне частичен коефициент р (х) и з остатък (х) в (37.2). Нека заедно с (37.2) има представителство г (х) = F (х) ~ р (х) + Н (х); където полином Н (х) или нула или по-малка степен п: Изваждане последната формула с формула (37.2) и прехвърляне OC останки от едната страна на равенството, получаваме е (х) (р (х) ¡р ~ (х)) = Н (х) ¡Н (х). Ние първи докаже равенството на полиноми р (х) = р ~ (х). Ако приемем, напротив, полином р (х) ¡р ~ (X) може да не е нула, и следователно, степен собственост (36,12), от лявата страна на уравнение (37.8) е полином от степен по-малко от п: В същото време двете остатъци имат степен на нисш п: Следователно, от собственост (36.8), степента на дясната страна е по-малко от п: противоречие. По този начин, равенство на частичните коефициенти доказано. остатъци равенство з (х) = Н (х) сега е непосредствен резултат от (37.8). ¤ Пример 37.1. Да разгледаме полиноми г (х) = 6 х 2 х 4 ¡¡3 3 х + 2, и F (х) = 2 х 2 ¡х ¡3. (Това може да се разглежда над областта на рационалното номера Q или някоя от по-широка област, например над R.) На практика, разделението на полиноми с остатъка се извършва, като в училище, в колона. (За удобство, ние сме страдали набор пример за този дизайн в приложение 2; виж Таблица 37.1a ...) Разделянето с остатъка в полином пръстена Изчисленията дават частичен коефициент р (х) = 3 х 2 + 1 х 2 + 19 април и з остатък (х) = х + 13 април, 65 4. Ако дивидент [полином г (х)], за да замени пропорционална полином, запазвайки непроменен делител Н (х); След това резултатите с остатъка от разделяне на [частичен коефициент р (х) и остатък Н (х)] се заменят с пропорционална. Освен това, ако някой от етапите на процеса на разпад (описан в доказателството на теоремата 37.1) заменя получен в този етап "междинен" остатък на пропорционално, тогава "краен" остатъкът ще бъде пропорционална на действителната стойност (въпреки частичното коефициент може сериозно изкривена). Това обстоятелство може да се използва (за употреба оценка) за разделяне на остатъка от полином с цели коефициенти на друг. Винаги е възможно да се гарантира, че останалата част също имаше интегрална коефициенти. (. Таблица 37.1b показва втори вариант на разтвора от Пример 37.1 Изчисленията дават :. Н (х) »13 х + 65. Непълно частни оказа значително нарушена.) Пример 37.2. Опитайте сами да се разбере синтаксиса на Maple-функция вещни. По-долу представя разтвор (като се използва тази команда) от Пример 37.1. > G: = 6 ¤ х 4 ¡¤ х 3 2 3 ¡¤ х + 2: > F: = 2 х 2 ¤ ¡х ¡3: > H: = REM (д, е, X, 'р'); Q; Забележка 37.2. Възможно да се определи разпределението с остатък в полином пръстен К = L [х] над комутативен пръстен L? Да, ако F на делител (х) е обратим водещ коефициент (0 2 L ¤). [В действителност, всяка стъпка на алгоритъма, описан в доказателството на теоремата 37.1, само въз основа на съществуването на ¡елемент 1. 0] По-конкретно, полиноми над пръстена Z могат да бъдат разделени с остатък един от друг само в случая, когато водещите коефициента ще бъде 1 или делител ¡1. 37.2. съотношение делимост в целия пръстен. Разделение (равномерно) за полиноми. За елементи на; б произволно комутативен пръстен може да се определи съотношението К делимост на (равномерно) AJB; е еквивалентна на съществуването на този елемент в 2 K; че б = а ¢ в: По-специално, изявление 0 0 J е вярно (защо?), И когато б = 6 0 0 JB твърдение е невярно. Идентичност елемент разделя всеки елемент. Ако елемент разделя всеки елемент, след това, по-специално, тя се разделя 1 и следователно обратимо. (Защо?) Ако пръстенът е неразделна К (.. N 36.6 cm), след това 6 = 0 означава действителност делимост AJB елемент в уникалност; в дефиницията на делимост. (Защо?) Пръстените "монтирани" към остатъка на операция деление (като пръстен от цели числа или пръстен на полиноми над поле), факт делимост AJB на; най-общо казано, не е еднакво с третирането нулев остатък, получен чрез разделяне б до (в случай, че частичното частното и остатъка не може да се определи еднозначно). Под формулирани оферта, която съдържа основните свойства на съотношение делимост в цялата пръстен. Оферта 37.1. Нека K бъде неразделна пръстен. Свойствата на следната връзка делимост (за всички елементи А; В; С 2 K): 1) Aja (отразяваща); 2) (AJB) ^ (BJC)) (AJC) (преходност); 3) (AJB) ^ (BJA). (А »б); 4Ь) (ай 1). (А »1). (A 2 K ¤); 5а) AJ 0; 5Ь) (0 йа). (А = 0); 6) (AJB) ^ (0 »а) ^ (б 0» б)) (0 йб 0); 7) (AJB) ^ (AJC)) (а й б + в б ¡С; б ¢ в); х 37 разделяне с остатък в полином пръстен 339 8а) (AJB)) (на ¢ в й б ¢ в); 8b) (а ¢ в й б ¢ в) ^ (С 6 = 0)) (AJB). Доказателство. Някои от свойствата, посочени са очевидни, някои вече са обяснени по-горе. Ние доказваме свойства на 3, 6 и 8б. Помислете за възстановяване на останалата част от доказателствата, като полезна и просто упражнение. Имоти 3. Ако »б. има обратим елемент 2 К. ф така че б = о; когато, при умножаване ф ¡1; получаване на: = бу ¡1. Следователно отнася както AJB; и ССБ: Обратно, ако AJB и BJA; съществуват елементи в; К. 2 г, така че б = променлив и = BD; От това следва, (ние използваме асоциативен закон), че а = а (CD) и б = б (CD). Ако поне един от елементите на; б не е нула, след прилагане на имота анулиране (36.16a), ние получаваме 1 = CD (или 1 = DC). Чрез комутативен пръстен, всеки от следните уравнения е еквивалентно на обратимостта на двата елементи, в и г; и следователно води до асоцииране на елементи А и В: Ако А = В = 0; нищо не доказва: равенство на елементи включва свързването им. Имайте предвид, че само доказва, че имотът е малко необичайна: вкоренен (издаден от областта на естествените числа) убеждение, че ако един разделя б и б разделя; тогава А = В: Вече в пръстена на целите числа не е така! (Какво?) Имоти 6. Ние B = AC; 0 = о и Ь = 0 BV известно в 2 K; ф; V 2 K ¤. Следователно, б = 0 (AC) V = (0 ф ¡1) CV = 0 в 0; където в 0 = Cu ¡1 обем; на делимост йб 0 0 доказано. 8б собственост. Разделение acjbc предполага съществуването на такъв елемент г 2 K; че бв = ACD: Допускане в 6 = 0, което позволява намаляване свойства сега е предполага б = реклама. и следователно, на Съюза на съдиите: ¤ Забележка 37.3. Свойствата на формулирани и се оказа по-горе, ние трябва преди всичко по отношение на пръстена на полиноми над областта. Например, две взаимно полином разделят един от друг, ако и само ако те са свързани (пропорционално); различна от нула постоянно и само те имат всички полиноми, и така нататък .. В бетонови пръстени има и някои специфични свойства на отношението на делимост. Например, в пръстена от числа действителност AJB (за ненулева а и б) води до неравенство JAJ 6 jbj; и полином пръстен Р [х] делимост на е (х) JG (х) [за ненулев полином е (х) и г (х)] предполага неравенство за техните степени: ° (е (х)) 6 ° С (г (х )). Забележка 37.4. Maple има система-тест функция проверява дали един полином на останалите акции. За Например, ако условията на пример 37.2 избиране: системата ще изведе: Стойността на "истински" ние ще имаме, ако искаме да имаме fjg: Потърсете "модулни" версия на командата за връщане (в случай делимост дели) частен В: > Разделете (х 3 + х 2 + 2 ¤ х + 3 х + 2 "р") мод 5; (Вижте изчисленията чрез умножаване с коефициент от делителя по модул 5.) алгоритъм х 38. Евклид за намиране на най-голям общ делител пръстен от полиноми над поле 38.1. Концепцията за най-голям общ делител в целия пръстен. състояние Bezout. Нека K бъде неразделна пръстен; а; б произволни два от члена на пръстен. Определение 38.1. Най-голям общ делител (GCD) от елементи А и В се нарича обща делител, който се дели на всеки общ делител. (В случай на Z, този пръстен-горе определение не напълно съвпада с този, даден в предговора: тя изисква GCD е естествено число Ако се откаже от това предположение, то ще се окаже, че в продължение на две цели числа, не е единичен NOD стойност и два например .. като 3 и 3 са ценности ¡GCD за номера 12 и 15. този подход е правилен от гледна точка на общото алгебра.)