В детерминанта на квадратна матрица

Начало | За нас | обратна връзка

Определение 2.1. Замествайки (пермутация) на комплекта, състоящ се от първите естествени числа е едно към едно картографиране върху себе си. Номерът в този случай се нарича процедурата по заместване.

Смените ще бъдат записани под формата на таблица, състоящ се от две колони и редове, както следва:

Пример. Примери на ред пермутации са пермутации:

Пример. Смените на третия ред са следните замествания:

Определение 2.2. Пермутации на всеки елемент от които представлява за нея, наречена Първообразът на идентичност:

Определение 2.3. (състав) замествания на продукта

този набор се нарича пермутация на снимачната площадка се състои в последователното изпълнение на тези замествания:

Пример. Намери произведения на следните пермутации на третия ред:

1.16 Ние използваме определението и напишете:

Забележка. Както се вижда от примера по-горе, продуктът не е комутативен замествания.

Определение 2.4. Нека пермутация на числата са елементите на двойка числа нарича инверсия, но ако

Пример. Изчислява се броят на инверсиите на седмия ред на смяна

За да се реши този проблем ние използваме определението 2.4 и преброя двойки. за които

По този начин, това заместване има 6 инверсии.

Определение 2.5. Opredelitelemkvadratnoy матрица е число, равно на сумата от алгебрични условия, всеки от които е продукт на елементите на матрицата, взети един по един, и само един от всеки ред и всяка колона на матрицата. Всеки състав включени в сумата със знак, когато броят на инверсии формира втори индекс елементи на продукта, при условие, че първите кодове са подредени във възходящ ред. Означава детерминантата на матрицата от следните знаци:

За да се изчисли детерминанта на квадратна матрица, използвайки определената деление-2.5, е необходимо:

1) създаване на всички възможни продукти на елементите на матрицата, с приемане само един елемент от всеки ред и всяка колона;

2) за определяне на знака на всеки продукт, чрез преброяване на броя на инверсии формира втори индекс елементи на продукта, при условие, че първите кодове са подредени във възходящ ред.

3) изчисляване на сумата от всички открити парчета.

Има прости правила за изчисляване на техните детерминанти на квадратните матрици на втория и третия поръчките.

В детерминанта на втори ред квадратна матрица изчислява по формулата:

В детерминанта на третия ред квадратна матрица изчислява по формулата:

Формулата за изчисляване на фактор на матрицата на третия ред е удобно да се запомни със следния мнемоничния код, който може да бъде представен схематично както следва (Фиг. 1). SHAPE \ * MERGEFORMAT

В съответствие с тази схема, наречена правило триъгълници, за да се изчисли детерминантата на матрицата елементи на три части, трябва да се приема с "+" и три парчета - с Зак "-".

Чрез изчисляване на формулата на детерминанта от втори ред квадратна матрица напишете:

Ние използваме каза формулата:

Теорема 2.2. В детерминанта на квадратна матрица има следните основни характеристики:

1. това не променя детерминантата при транспонирането на матрицата.

2. В допълнение към всеки низ (всяка колона) матрица, умножена по всяко реално число, другата линия (с различен колона) на матрица детерминанта на матрицата не се променя.

3. детерминанта на матрицата, всички елементи на един ред (на колона), които са равни на нула, нула.

4. детерминанта на матрица с две еднакви редове (две еднакви колони), е нула.

5. детерминанта на матрица като редове (колони), които са пропорционални на съответните елементи, равни на нула.

6. При смяна места на два реда (колони) на промените в матрица определящи знак.

7. Когато добавянето на един ред (колона) матрица от друга ред (колона), умножено по реално число к. различна от нула, стойността на своя определящ промените в к пъти.

Забележка. Както следва от Теорема 2.2, някои елементарни матрица променят стойността си определящ фактор.

Определение 2.6. В детерминанта на матрица, получена от матрицата с анулиране ти ред и първата колона, наречена малка елемент и е означен

Определение 2.7. В кофактор на елемента на матрицата е число, равно на продукта от този второстепенен елемент в

По-специално, алгебрични допълнение матрица елемент се нарича малка, взети със знак, ако размерът на брой редове и колони, в които има елемент, има четен брой и с обратен знак, ако този брой е нечетен.

Пример. Изчислява непълнолетни и кофактори матрични елементи

За решаване на проблема, които използваме определенията 2.6 и 2.7.

Теорема 2.3 (за разширяване на детерминанта по ред или колона). В детерминанта на квадратна матрица е сума от продуктите от елементи на един ред (колона) матрица в техните кофактори:

За изчисляване на определящ фактор за ползване Теорема 2.3 и ние разширяваме детерминантата от елементите на първия ред:

Тъй като ние се изчисли кофактори