Условно конвергенция, примата

Помислете серия от номера, с безкрайно много положителни и отрицателни безкраен брой членове. Тази серия се нарича променлив серия.

Ние запис на произволни променливо серия
$ A_ + a_ + a_ + ... + a_ + ... = \ сума \ limits_ ^ a_ $ $ (1) $
където номера $ a_ на, a_, a_, ..., a_, ... $ са положителни, така и отрицателни, и те са подредени в редица произволно. Само погледнете в серия, състояща се от абсолютните стойности на условията на (1):
$ | A_ | + | a_ | + | a_ | + ... + | a_ | + ... = \ сума \ limits_ ^ | a_ | $ $ (2) $.
За променлив серия имаме следната теорема:

Ако броят на $ (2) $ клони, на сближаването на серия $ (1) $.

доказателства

Да приемем, че броят на $ (2) $ клони. Ние означаваме с $ s_ $ частична сума от $ (1) $ и $ \ $ sigma_ частична сума от $ (2) $. След това: $ s_ = a_ + a_ + a_ + ... + a_ $;

$ \ Sigma_ = | a_ | + | a_ | + | a_ | + ... + | a_ | $. Тъй като броят на $ (2) $ клони, последователността на частичен суми $> $ граница е $ \ Lim \ limits_ \ _ сигма = \ сигма $, където за всеки $ п неравенство $

$ \ Sigma_ \ екв \ сигма $ $ (3) $
Тъй като условията на $ (2) $ са не-отрицателни.
Ние означаваме с $ S<>'_ $ Сума от положителна светлина, а чрез $ S<>»_ $ Уърт на модули негативни термини, които се съдържат в размер на $ s_ $.
след това
$ S_ = S<>'_-S<>»_ $ $ (4) $
$ \ Sigma_ = S<>'_ + S<>»_ $ $ (5) $.
Тя може да се види, че на $ последователност '_> $ и $' _> $ не намалява, а $ на равенство (5) $ и неравенства $ (3) $, то следва, че те са ограничени: $ S<>'_ \ Leq \ sigma_ \ екв \ сигма $ и $ S<>»_ \ Leq \ sigma_ \ екв \ сигма $. Следователно, има $ \ Лим \ limits_S<>'_ = S<>"$ И $ \ Лим \ limits_S<>_ »= S<>"$. Но в този случай, $ на равенство (4) $, последователността на частични суми $ (1) $ има лимит
$ \ Лим \ limits_S _ = \ Лим \ limits_ (S<>'_-S<>»_) = \ Лим \ limits_S<>"_- \ Лим \ limits_S<>»_ = S<>"-S<>"$.

Това означава, че броят на $ (1) $ клони. $ \ $ Blacksquare

Редица $ 1- \ Frac> - \ Frac> + \ Frac> + \ Frac> - \ Frac> - \ Frac> + ... $ съгласно теоремата 1 се доказва конвергентна, към серия, състояща се от абсолютните стойности на условията на серията: .. $ 1 + \ Фрак> + \ Фрак> + \ Фрак> + \ Фрак> + \ Фрак> + \ Фрак> + ... $
По-долу е графика на поведението на първите двайсет, съставен от абсолютните стойности, условията на серия

Отчетено е признак на конвергенцията на серия променлив е достатъчно, но не е необходимо, т. За да. Има редуващи се редове, които се събират и серия образуван от абсолютните стойности на техните членове се различават. Например, серия $ \ сума \ граници _ ^ - 1 ^ \ Frac $ клони съгласно Лайбниц основания и редица $ \ сума \ граници _ ^ \ Frac $, състояща се от абсолютните стойности на неговите условия, се отклонява.

Ето защо, всички обединени серия може да бъде разделена на абсолютна и условна слеят.

Серия с реални или комплексни условия $ \ сума \ limits_ ^ a_ $ се нарича абсолютно събиращи ако серия $ \ сумата \ граници _ ^ \ напусна | a_ \ дясна | $.

Поредица $ \ сума \ limits_ ^ a_ $ се нарича условно събиращи се, ако тя се доближава и серия $ \ сумата \ граници _ ^ \ напусна | a_ \ дясна | $ разпръсне.

За да условно конвергентни серия са ...

  • конвергентна серия, за която серия се състои от абсолютните стойности на техните членове се разминават.
  • конвергентна серия, за което серията се състои от абсолютните стойности на техните членове се слеят.
  • отклоняване на серия, за което серията се състои от абсолютните стойности на техните членове се различават.
  • отклоняване на серия, за които са съставени от серията абсолютните стойности на техните членове се събират.

Помислете за три случая:

  1. Да. Следователно, с оглед на конвергенцията на интегралната, интеграл, т.е. неразделна клони абсолютно. Следователно, от Теорема 1, трябва да е сближаване на интеграла.
  2. Помислете за втория случай. Интегриране на части. получаваме къде и клони абсолютно. Вследствие на интеграл клони клони. Интеграл с коефициентите, което означава, че на интеграл клони условно.
  3. Помислете. Използването на критериите Cauchy, се окаже различието на интеграла. Да. Изберете номер, така че, и нека

    защото ако неравенството и и след това

    Очевидно е, че състоянието на Коши не е спазено и интегралните се различава.

  • клони абсолютно;
  • условно клони;
  • отклонява.