Уравнения и неравенства в една променлива
Уравнение с една променлива. Половете, съдържащ променлива, наречена уравнение с една променлива или уравнение с един неизвестен. Например, едно уравнение с една променлива е уравнение 3 (2х + 7) = 4-1.
Коренът или разтвор на уравнението е стойността на променливата за които уравнението става вярно цифров равенство.
Решете уравнението - това означава да намерите всички корените му или да докаже, че корените не го правят.
Формулите се наричат еквипотенциални ако всички корените на първото уравнение са корените на второто уравнение, и обратното, всички корените на второто уравнение са корените на първото уравнение или, ако двете уравнения са без корени. Например, уравнение х = 8 и 2 х 20 + 10 = еквивалент, защото корен на първото уравнение х = 10 е корен и второто уравнение, двете уравнения имат един корен.
Теорема за еквивалентността на уравнения. Първите три теореми - "тихи", те гарантират еквивалентността на трансформации без никакви допълнителни условия, тяхната употреба не предизвиква никакви проблеми от решаващо значение.
Теорема 1. Ако някой от членовете на уравнението да се премине от една част от уравнението за другата с обратен знак, ние получаваме уравнение, което е еквивалентно на това.
Теорема 2. Ако двете страни на една и съща доведена до степен странно, ние получаваме уравнение, което е еквивалентно на това.
ТЕОРЕМА 3. експоненциално уравнение
Следващите три теореми - "неспокоен", те работят само при определени условия, и следователно може да достави някои проблеми при решаване на уравнения.
Домейнът на определение на уравнение е (х) = грам (х) или набор от допустимите стойности (ТСС) вариабилен е набор от стойности на променливите X, в която и двете имат значението на изразите F (х) и г (х).
Теорема 4. Ако двете страни на уравнение е (х) = грам (х) се умножава по същия експресионен Н (х) е:
а) има значение навсякъде в областта (в обхвата на толерантност) на е (х) = грам (х);
б) навсякъде в тази област не става 0 - ние получаваме уравнение е (х) Н (х) = грам (х) Н (х), което е еквивалентно на това.
Като следствие от Теорема 4 е друг "тиха" изявление: ако двете части на уравнението умножават или разделени от един и същ номер, различен от нула, можете да получите едно уравнение, еквивалентно на това.
Теорема 5. Ако двете страни на уравнение е (х) = грам (х) са не-отрицателни в уравнението на определение, след изграждането на двете части на едно и също дори степен п е едно уравнение, което е еквивалентно да представи: е (х) п = грам ( х) п.
Теорема 6. Ако е (х)> 0, и г (х)> 0, логаритмична уравнение
. е еквивалентна на уравнение е (х) = грам (х).
Линейни неравенства в една променлива. Ако променливата х да дават никакви числена стойност, ние получаваме числено неравенство, която изразява по-вярно или невярно твърдение. Да предположим, например, даден неравенството 5х-1> 3 + 2. Когато х = 2, ние получаваме 5 · 2.1> 3 · 2 + 2 - вярно твърдение (правилно цифров изказване); когато х = 0 получаваме 5 · 0-1> 3 · 0 + 2 - фалшиво твърдение. Всяка стойност на променливата при което това неравенство променлива става вярно цифров неравенство се нарича разтвор на неравенство. Решете променливата на неравенството - означава да се намери множеството от всички негови решения.
Две неравенства с една променлива х се казва, че са еквивалентни ако множеството от разтвори на тези неравенства съвпадат.
Основната идея на решаването на неравенството е следното: заместим това неравенство е друг, по-опростена, но еквивалентна на сегашната; получената неравенството отново заменен от по-простото неравенство еквивалент на него и т.н.
Такива замествания са направени въз основа на следните твърдения.
Теорема 1. Ако някой от членовете на неравенството с една променлива да се премине от едната страна на другата с обратен знак, като оставят без знака на неравенството, ние получаваме неравенството е еквивалентно на това.
Теорема 2. Ако двете страни на една променлива, умножена или дели на същата положителна броя, като оставят без знака на неравенството, получаваме неравенството еквивалентно на това.
Теорема 3. Ако двете страни на неравенството с една променлива, умножена или разделен от един и същ отрицателен номер, промяна на знака на неравенството е наопаки, получаваме неравенството е еквивалентно на това.
Линеен неравенство наречен тип брадва + б> 0 (съответно, брадва + б<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.