Собствени стойности и собствени
Определение 9.3. х Векторът се нарича собствен вектор на матрица А. Ако има редица # 955;, че равенството: Ах = # 955 х, т.е. в резултат на прилагането линейна трансформация на х, направена от матрица А. Това е умножение на броя на вектор # 955;. Самият брой # 955; Той призова собствените стойности на А.
Заместването с формула (9.3) = x`j # 955; XJ, получаваме система от уравнения за определяне на координатите на собствения вектор:
.
Тази линейна хомогенна система има nontrivial разтвор само ако неговата основна детерминанта е равно на 0 (правило Cramer е). Писане това състояние във формата:
уравнение за определяне на собствените стойности # 955;. нарича характеристика уравнение. Накратко може да бъде представена както следва:
защото лявата му страна е детерминантата на матрицата A # 955 Е. полином в # 955; | А - # 955; E | Това се нарича характеристика полином на матрица А.
Свойства на характерната полином:
1) характеристика полином на линейна трансформация не зависи от избора на основа. Доказателство. (Cm. (9,4)), но впоследствие. По този начин, независимо от избора на основа. Следователно, | A- # 955; E | Той не се променя по време на прехода към нова база.
2) Ако линейна трансформация матрица А е симетрична (т.е. Aij = Aji), всички корените на характеристика уравнение (9.6) - са реални числа.
Свойствата на собствени стойности и собствени:
1) Ако изберете база от собствени вектори x1. x2. x3. съответстваща на собствените стойности # 955; 1. # 955; 2. # 955; 3 матрица А в тази база линейна трансформация матрица е диагонална на формата:
(9.7) Доказването на това имущество следва от определението за собствени вектори.
2) Ако собствените стойности на трансформация са различни, съответните собствени вектори са линейно независими.
3) Ако характеристика полином на матрицата има три различни корен, в някои база матрица е диагонална.
29VOPROSKvadratichnye форми и техните матрица. Намаляване на квадратичен форми на каноничната форма ортогонална трансформация. Влезте в определен квадратните форми. Условия за регистриране в определен квадратните форми.
Квадратичен форма / (hih2. X ") п недвижими променливи x1, x2. X "е сумата от формата
Квадратичната форма се нарича реална или комплекс, в зависимост от това, дали неговите коефициенти на реални или комплексни числа. Нека разгледаме реалните квадратни форми.
Матрицата на квадратна форма е матрица, съставена от неговите коефициенти. Квадратичен форма (11.1) съответства на уникален симетрична матрица
Обратно, всяка симетрична матрица (11.3) съответства на един квадратна форма до означават променливи.
Рангът на квадратното форма се нарича ранг на матрицата си. В квадратна форма на п променливи е неособена матрица ако матрицата неособена матрица, т. Е. R = п и дегенерира ако г <п.
Квадратичен форма (11.1) п променливи XL, х2. х "може да се запише в матрица vtstse. В действителност, ако X - колона матрица от променливи
- матрица, получена чрез транспониране на матрица д. ред матрица на същите променливи,
Където а е определен от формула (11.3).
Ортогоналната трансформира. За да се доведе-Ing квадратна форма е (XI, Х2, Х3) на каноничната форма (10.4), е необходимо да се напише матрица квадратна форма
в която Т Aij = Aji. д компоненти., които са симетрични по отношение на основната диа-Гон съвпадат. След това се долива и решаване на уравнения характеристика-комплект:
Тъй като матрицата е симетричен, корените # 955; 1 955 # 2, # 955; 3, характерна уравнение са реални числа. Намерено собствени стойности са коефициентите на каноничната форма на квадратна форма ба-променили размерът на e'1, e'2. e'3:
Нека намери нормализирания собствен вектор, съответстващ-ING характерни номера # 947; 1 # 947; 2. # 947; 3 в ортонормирана база Е1, Е2. e3:
На свой ред, векторите e'e2. e'z образуват ортонормирана база. матрица
Формула координатна трансформация при прехода към новата ortonor-програмирани основа имат формата:
Ние се каже, че квадратна форма F (XI, Х2, Х3), вижте каноничната форма чрез използване на ортогонална трансформация V.
метод на Лагранж за изолиране на пълни квадрати. При един Quadra-Ung форма (YU.Z) и всички, Aij коефициентите (квадратите на 2 XI), I = 1,2,3. нула и в същото време форма не е идентично нула, тогава ненулева най-малко един продукт, например 2al2 x1 x2. т. е.
Извършване на база трансформация в който координира на векторите в стари и нови бази са свързани с:
По този начин, винаги има основа, където в квадратна форма най-малко един коефициент на квадрата е нула.
Реал квадратното форма / (х., X2, се нарича положителен
Но-сигурен, ако се редуцира до нормална форма, състояща се от положителни квадрати л / (X], Х2 х ").
Д. Ако в ранг и положителен индекс на инерцията са равни на броя на неизвестни.
Hih2 система от ценности. хп се казва, че е нула, ако хх = Х2 =. = X '= О, и не е нула, ако поне един от тях е различен от нула.
Т ЕО и 11.6 REM. Действителната форма на квадратно / (*. * 2. Х ") е положително определена единствено и само ако е необходимо, за положителна стойност на всички не-нулеви стойности на променливите от системни
Нека квадратна форма / (XI, Х2. Xn) с матрица А = (Aij). Основни непълнолетни лица на квадратното формата / се нарича непълнолетен
Д. непълнолетни на за матрица. намира в горния ляв ъгъл;
Последният от тях съвпада с детерминантата на матрицата.
Теорема 11.7. Квадратичен форма с недвижими
Матрицата е положително определена единствено и само ако всички негови основни непълнолетни, са положителни.
Реал квадратното форма се нарича отрицателен определено, ако той не е дегенерат и да доведе до нормален изглед, съдържащ само отрицателни квадратите на всички променливи; тази форма може да бъде намалено до формата
Теорема 11.8. Квадратичната формата е отрицателно определена единствено и само ако основните му непълнолетни лица са положителни дори ред и странно - отрицателна.
Положителни-категорични и отрицателен-категорични квадратните форми се наричат фиксиран знак на квадратните форми.
Дегенеративните квадратните форми, които са нормално GDI се състои от квадратчета с еднакъв знак, се наричат semidefinite.
Несигурни наречен квадратичен форми, нормална форма, която съдържа както положителни и отрицателни променливи квадрати.
30 квадратичен форми Q Прилагане на изучаването на криви и повърхнини от втори ред.
Квадратичен форма на неизвестните е сумата на всеки термин от които е квадрат на един от неизвестното, или продукта на две различни неизвестен.