смяна на метода на променливата в неопределен интеграл
В този урок ще разгледаме един от най-важните и най-често срещаните методи, които се използват в процеса на решаване на неопределени интеграли - чрез замяна на променлива. За да овладеят успешно материали, необходими основни знания и умения за интеграция. Ако има празно чувство пълна кана в интегрално смятане, трябва първо да се запознаете с неопределен интеграл материал. Примери за разтвори. където Обясних с прости думи, това, което е най-цялостни и анализирани по-подробно основните примери за начинаещи.
Технически, метода на смяна на променливата в неопределен интеграл се осъществява по два начина:
- Обобщавайки функция под знака на разликата;
- Всъщност променлива смяна.
В действителност, те са едни и същи, но проектното решение изглежда по различен начин.
Да започнем с един прост случай.
Обобщавайки функция под знака на диференциала
На неопределен интеграл урок. Примери за разтвори сме научени да разкрие диференциалната изземване на пример I, цитирани:
Това е, за да разкрие разлика - е технически почти същата като производно.
Намерете неопределен интеграл. Проверете сега.
Ние разглеждаме масата на интеграли и да намерят подобна формула. Но проблемът е, че ние не само в рамките на синуса с формата на букви "Х" и комплекс израз. Какво да се прави?
Обобщавайки функция при диференциално знак:
Разширяване на разлика, че е лесно да се провери, че:
В действителност - това е запис на една и съща.
Но, въпреки това, остава въпросът, как стигнахме до извода, че е необходимо да се напише нашия неразделна точно първата стъпка? Защо е така, а не иначе?
Формулата (и всички други таблична формула) са валидни и се прилага не само за променлива, но за всеки комплекс експресия, докато аргументи на функцията (- в нашия пример) и експресия при ДИФЕРЕНЦИАЛНА са идентични.
Ето защо, психическо разсъждение в решаване трябва да се развива по следния начин: "Аз трябва да реши интеграла. Погледнах таблицата и е установено, подобна формула. Но аз имам един сложен аргумент, а формулата аз просто не можа да се възползва. Въпреки това, ако мога да получа и диференциално знак, а след това всичко ще бъде наред. Ако мога да го напишеш, а след това. Но в оригиналната неразделна фактор или три там, така че подинтегрален не се е променила, аз съм го умножава по ". По време на приблизително психичното мотивите е роден рекорд:
Сега можете да използвате таблицата по формулата:
Единствената разлика е, че ние не разполагат с буквата "Х", и сложен израз.
Извършване на проверките. Отваряне на таблицата на производни и диференцируема отговор:
Вземете източник подинтегрален, а след това на интеграл намери правилно.
Моля, имайте предвид, че по време на теста, ние използвахме правилото за диференциране на съставна функция. По същество сумиране функция под знака и разлика - две взаимно обратен правило.
Намерете неопределен интеграл. Проверете сега.
Ние анализираме подинтегрален. Тук имаме един изстрел, а в знаменателя на линейна функция (с "Iksom" в първата степен). Ние се отнасяме към масата на интеграли и да намерят най-сходния нещо.
Обобщавайки функция при диференциално знак:
Тези, които е трудно да разбера веднага за това, което трябва да се размножават на фракцията, може бързо да разкрие разлика от проекта на :. Да, оказва се, това означава, че нищо не се е променило, трябва да се умножи на интеграл.
На следващо място, ние използваме табличен формула:
Проверка:
Вземете източник подинтегрален, а след това на интеграл намери правилно.
Намерете неопределен интеграл. Проверете сега.
Това е пример за независими решения. Отговорът е в края на урока.
Намерете неопределен интеграл. Проверете сега.
Това е пример за независими решения. Отговорът е в края на урока.
В определен опит за решаване на интеграли, такива примери ще изглеждат лесни и могат да кликнат като ядки:
В края на този раздел бих искал да се спра на "khalyavnykh", когато променливата част с единичен фактор, като линейна функция:
Строго погледнато, разтворът трябва да изглежда така:
Както можете да видите, сумиране функция под знака на диференциала отиде "гладко", без да умножение. Поради това, на практика, като дълго решение често се пренебрегва, и веднага пиша това. Но бъдете готови да обясни на учителя, ако е необходимо, как да се реши! Тъй като интеграл в таблицата изобщо, не.
смяна на метода на променливата в неопределен интеграл
Ние се обръщаме към най-общия случай - метода на промяна на променливите в неопределен интеграл.
Намерете неопределен интеграл.
Като пример, взех интеграл, който обсъждахме в началото на урока. Както казахме, за решаването на интеграла ни хареса таблична формула, а нещо, което бих искал да насоча към него.
Идеята за смяна на метода се състои в това, че сложен израз (или функция), за да се замени една буква.
В този случай, той предлага:
Второто писмо е да се замени популярност - е писмото.
По принцип, можете да използвате други знаци, но ние все още ще се придържаме към традициите.
Така че:
Но ние все още имаме подмяна! Вероятно мнозина се досетили, че ако един преход към нова променлива, новата интегрална всичко трябва да бъде изразена чрез писмо, както и разлика не е място.
Той е логично заключение, трябва да се превръща в израз, който зависи само от.
Продължете по следния начин. След като взе една замяна, в този пример, ние трябва да се намери разлика. На диференциали Мисля, че приятелството е установена най-малко.
След конфронтация с разлика от крайните резултати, препоръчваме ви да бъде пренаписана възможно най-кратко:
Сега, в съответствие с правилата, които искате от нас да изразим пропорции:
В резултат на това:
По този начин:
И това е най-много, нито е на масата, на интегрална (таблица на интеграли. Разбира се, важи и за променливата).
В заключение, той остава да се извърши обратната замяна. Спомням си, че.
Завършете дизайн на този пример трябва да изглежда по следния начин:
Икона не носи от математическа гледна точка, това означава, че ние сме прекъсна решение за междинните обяснения.
Също така силно препоръчваме да използвате математически знак вместо фразата "това би трябвало да бъде." И краткосрочен и удобна.
Когато правите пример в бележника маркирани горни подмяна обратен става най-добре с молив.
Внимание! В следващите примери, намирането на диференциалното знак не ще детайл.
И сега е моментът да си първия начин за решаване:
Каква е разликата? Не е установена разлика по принцип. Това всъщност е едно и също нещо. Но от гледна точка на начин на присвояване, дизайн на сумиране функция за диференциално марка - много по-кратък.
Възниква въпросът. Ако първият метод е по-кратко, тогава защо, използвайте метода за подмяна? Факт е, че в продължение на няколко интеграли не е толкова лесно да "подходящи" функция под знака на диференциала.
Намерете неопределен интеграл.
Направете промяната: (друг заместител е трудно да се излезе с)
Както можете да видите, като подмените оригиналното интеграл е много по-просто - svolsya за конвенционален функция власт. Това е целта на замяната - да се опрости интеграла.
Lazy напреднали хора лесно да реши този неразделна чрез сумиране на функцията под знака на диференциала:
Друго нещо е, че такова решение очевидно не е за всички ученици. Освен това, дори и в този пример, използването на метода на сумиране функция под знака на диференциала, значително увеличава риска да се загубиш в решението.
Намерете неопределен интеграл. Проверете сега.
Това е пример за независими решения. Отговорът е в края на урока.
Намерете неопределен интеграл.
подмяна:
Остава да се определи какво ще стане
Е, ние сме изрази, но какво да се прави с останалата част от числителя "Iksom"?!
От време на време в хода на решаване на интеграли намерена следната хитрост: ние ще изразим едно и също подмяната!
Намерете неопределен интеграл.
Това е пример за независими решения. Отговорът е в края на урока.
Намерете неопределен интеграл.
Със сигурност някои от тях са забелязали, че в моята таблица, не е промяна в правилата на променлива. Това беше направено нарочно. Обикновено обърква обяснението и разбирането, както в горния пример, той не се появи изрично.
Време е да ви разкажа за основна предпоставка за промяна на метода на променлива: в подинтегрален трябва да бъде функция и неговите производни: (функции може да не са в продукта)
В тази връзка, когато интегралите често трябва да погледнете в таблицата с деривати.
В този пример, забелязваме, че степента на числителя е една по-малко от знаменателя. Таблица намерите производни с формула, че намалява нивото на само един блок. И тогава, ако марката за знаменател, тогава шансовете са, че числителят ще се превърне в нещо добро.
Между другото, това не е толкова трудно да се приведе в съответствие с функцията на диференциал знака:
Трябва да се отбележи, че за такива фракции, като фокус няма да мине (или по-точно, да се прилагат, ще трябва да не само добре дошли подмяна). Интегриране на някои фракции могат да се научат в интеграцията на класна стая от някои фракции.
Ето няколко от типичните примери за независими решения от същата опера:
Намерете неопределен интеграл.
Намерете неопределен интеграл.
Решение в края на урока.
Намерете неопределен интеграл.
Вижте таблицата и намерете ни производни дъга косинус :. Ние сме обратния косинус, и това, което изглежда да е негово производно в подинтегрален.
Общото правило:
Защото ние означаваме себе си (а не неговите производни) функция.
В този случай :. Остава да се определи какво ще стане с останалата част от подинтегрален.
В този пример, да намеря знак за подробности - сложна функция.
Или накратко:
По принципа на съотношение, което експресира желания съдържание:
Тук поеме функцията под знака на диференциала, не е толкова лесно.
Намерете неопределен интеграл.
Пример за независимо решение. Отговорът е съвсем близо.
Любезният читателите ще са забелязали, че Прегледах няколко примера за тригонометрични функции. Това не е изненадващо, тъй като при интегралите на тригонометрични функции определеното отделен урок. Освен това, за съответния клас осигурява известна полезни насоки за подмяна на една променлива, което е особено важно за начинаещи, които не винаги и не са непосредствено ясно каква замяна трябва да се извършват по определен интеграл. Също така, някои видове замествания могат да бъдат намерени в статията определен интеграл. Примери за разтвори.
По-опитните студентите могат да се запознаят с стандартната подмяната на интегралите на ирационални функции. Смяна в интеграцията на корените е специфичен и неговото оборудване е различен от този, който разгледахме в този урок.
Решения и отговори: