Сближаване на Фурие серия

Функция \ (е \ лявата (х \ полето), \) е определено в интервал \ на (\ наляво [\ полето] \) е по части гладка. ако самото и нейната производна функция е по части непрекъснато в даден интервал.

Частичните суми от серията на Фурие

Ние въведе концепцията на частично сума на Фурие серия \ на (\ наляво (х \ дясно) \) функция \ (е \ лявата (х \ полето), \), определена на интервал \ на (\ наляво [\ полето]. \) Се определя от експресия \ [ \ наляво (х \ дясно) = \ Frac >> + \ сума \ limits_ ^ N \ защото NX + \ грях пх> \ дясно)>. \] Комплексът форма частично сумата на \ (\ наляво (х \ дясно) \) функция \ (е \ лявата (х \ полето), \) в предварително определен интервал \ (\ наляво [\ полето] \) се изразява чрез \ [\ наляво (х \ дясно) = \ сума \ limits_ ^ N >>> = ^ \ пи> \ сума \ limits_ ^ N \ дясно) >>>> \ дясно) е \ наляво (у \ дясно) ди>.> \]

функция на \ [\ наляво (х \ дясно) = \ сума \ limits_ ^ N >> = \ Frac> \ дясно) х >>>> \] се нарича Дирихле ядрото. Фигура \ (2 \) е изглед при тази функция \ (п = 10 \)

Частичното сумата от серията на Фурие се изразява по отношение на Дирихле ядрото, както следва: \ [\ наляво (х \ дясно) = \ Frac> \ Int \ limits_<- \pi>^ \ Pi \ наляво (\ дясно) е \ наляво (у \ дясно) ди >> => \ Int \ limits_<- \pi>. ^ \ Pi \ наляво (у \ вдясно) е \ ляво (\ вдясно) ди >> \] В този раздел ще разгледаме три вида конвергенция на Фурие серия: сближаването на точката, единна конвергенция и сближаване в космоса \ (. \)

Сближаването на Фурие серия в точка

Нека \ (е \ лявата (х \ дясно) \) е по части гладка функция в интервал \ на (\ наляво [\ полето]. \) След това за всяко \ (\ в \ наляво [ <- \pi ,\pi> \ Десния] \) отговаря на състояние \ [\ Lim \ limits_ \ наляво (> \ дясно) = \ започне е \ лявата (> \ полето), \ Текст \, е \ наляво (х \ вдясно) \, \ текст \ \ наляво [ <- \pi ,\pi> \ Right] \\ \ Фрак - 0> \ вдясно) + F \ ляв (+ 0> \ вдясно) >>, \ Текст \, г \ наляво (х \ дясно) \, \ текст \,> \ цел \], където \ (0 -> \ дясно)> \) и \ (+ 0> \ дясно)> \) са съответно границите на ляво и от дясно, в точката \ (. \)

Uniform конвергенция на Фурие серия

Те казват, че последователността на частични суми Фурие серия \ (\ ляво \<\left( x \right)> \ Право \> \) сближат равномерно върху функция \ (е \ ляв (х \ вдясно), \), ако скоростта на сходимост на частичните суми \ (\ наляво (х \ дясно)> \) не зависи от \ (х. \) ( фигура \ (3 \)). Ние казваме, че полето]> \ наляво серия Фурие на \ (е \ лявата (х \ дясно) \) клони равномерно тази функция, ако се оставят \ [\ Lim \ limits_ \ [\ | \ Left (х \ дясно)> \ дясна |> \ прав] = 0. \] Теорема. Фурие серия \ (2 \ пи \) на - периодично непрекъснато и по части гладка функция клони равномерно.