Разминаването на полето на вектора - studopediya

От особен интерес е случаят, когато изчислената поток през затворена повърхност. Обикновено в такива случаи за положителната страна на повърхността получаване на външната повърхност. интеграл на повърхността в този случай е показан, както следва:

Когато полето за вектор е поле на течност скорост. P поток дава разликата между количеството течност тече от вътрешността регион ограничена от повърхността S. и количество течаща в тази област. Ако P = 0, тогава вътрешността на течността се влива в същия номер като има потоци. Ако P> 0, то следва повече от потоци. Това означава, че има източници в региона. подаване на течен поток. В случай на електрическо поле, това означава, че електрическите заряди са разположени във вътрешността на региона. Ако P <0, это указывает на наличие стоков – мест, где жидкость удаляется из области.

Най-важната характеристика на източниците и приемниците е разминаването. Да разгледаме точка М на полето на вектора и съраунд затворено повърхност S. изчисли поле поток вектор през затворената повърхност S и вземе този поток да обемно съотношение V област, ограничена от повърхността S:

Сега намерите граница на това съотношение, при условие, че област, ограничена от повърхността S. свива до точка М, т.е. когато V ®0. Това ограничение се нарича дивергенция вектор polyaav точка М:

Ясно е, че ако съществува граница, това не зависи от формата на повърхността S.

Различие характеризира захранващия източник или канала. Например, ако всяка точка в областта скорост отклонението на течност е нула, това означава, че не само липсата на източници и мивки, но също така, че течността не се свива или разширява. Този имот, по-специално, има въздух при скорости, които не превишават приблизително половината от скоростта на звука. Въпреки това, при скорости, близки до или над скоростта на звука, въздух се държи като сгъстим газ. Тогава различието на такъв газ вече не е нула. По подобен начин, разликата е нула, ако този газ с химични реакции (например горивни), промяна на неговата плътност. В случай на гравитационни или електрическо поле е пропорционална на отклонението от плътността на маса или такса, съответно.

Сега се получи формула за разминаването в Декартова координатна система. Нека повърхност S има формата на правоъгълен паралелепипед със страни Dx. Dy. Dz. успоредни на координатните оси (вж. Фигура 6.6). Пишем на повърхностния интеграл при определяне отклонението от сумата на три двойни интеграли:

Помислете за трети мандат:

Аспектите 1 и 2 се предвижда в същата зона D на XOY равнина (странични повърхности могат да бъдат пренебрегнати, тъй като те са перпендикулярни на равнината XOY), но техните външни нормали са насочени в противоположни посоки. Ако приемем, че лицата на уравнение Z = Z1 и Z = Z2. получаваме

Въз основа на геометричното значение на двойно неразделна (това е обемът разположен между равнината координира и повърхността описан от подинтегрален):

Аналогично може да се получи формула за първия и втория срок на експресията

По този начин, ние сме се оказа следната теорема:

Това означава, че ако всички течността има същата скорост (т.е., течните премества транслационно като твърдо вещество), след това такъв поток може да бъде нито източници нито мивки.

2) Да приемем, че твърдото тяло се върти с постоянна ъглова скорост w Както знаем от теоретична механика линейна скорост е V = w'r. където R - радиус на вектора на точка по отношение на точката на въртене. Ако фиксирана точка приема като начало, и е насочена по оста ос на въртене на Оз, ние получаваме w = седмици. R = XI + YJ + ЗК. след това

Това поле е въртящ се линейна скорост на твърдото вещество. Ние изчисляваме различията в тази област:

Това означава, че е да си представим течен въртящ като твърдо тяло, че в такъв поток може да бъде нито канализацията нито източници.

Пример 6.4. Виж отклонението на градиента на в точка М скаларна поле ф = х 3 Y 2 Z (1; 1: 1).

Решение. Ние считаме, градиента на полето

и след това на различието:

Заместването получи координатите на точка М.