Равностойни цифри и equidecomposable
При изчисляването на областите на полигони с помощта на проста техника, наречена метод за разделяне. Да разгледаме полигони F и Н, показано на фиг. 1, където е показано как да се прекъсне тези полигони в един и същ брой равни части, съответно (равни части, маркирани със същите цифри). На полигона F и H казват те конфе. Като цяло, полигони А и В се наричат equidecomposable, ако по някакъв начин чрез намаляване на полигон А в краен брой части, възможно е чрез поставяне на тези части, така или иначе, от тях полигон Б. Това е лесно да се види, че следната теорема притежава: equidecomposable полигони имат една и съща област или, Тя се казва, че имат еднаква площ. Например, успоредник equidecomposable правоъгълник (фиг. 2) и следователно, знаейки формула правоъгълник област, ние откриваме, че площта на успоредник е равна на произведението на дължините на страните му и съответната височина.
Равностойни и equidecomposable фигури. Фиг. 1.
Равностойни и equidecomposable фигури. Фиг. 2.
Равностойни и equidecomposable фигури. Фиг. 3.
Равностойни и equidecomposable фигури. Фиг. 4.
Равностойни и equidecomposable фигури. Фиг. 5.
Забележително е, че за горната теорема е валидна и обратният теорема, че ако две полигони с еднаква площ, те опа. Тази теорема се доказва през първата половина на ХIХ век. Унгарски математик F. Бояй и германски офицер и любители математици П. Гервин, може да се обясни по следния начин: ако има торта във формата на многоъгълник и полигонална кутия напълно различна форма, но една и съща област, така че е възможно да се намали моркова в краен брой парчета, които те биха могли да бъдат инвестират в това поле.
Във връзка с Теорема Бояй-Gervin поставя въпроса за налагането на допълнителни ограничения по отношение на броя или подреждането на елементите, които изграждат полигони с еднаква площ. Например, да си представите равнина под формата на лист от цветна хартия, едната страна на който е червен, а другата - бяло. Ако от хартия изрежете два еднакви размери червено полигон, възниква въпросът дали някой от тях нарязани на парчета, които ще бъдат в състояние да определят червения многоъгълника е равен на втория. Части право да премине без да ги превръща в бяло, грешната страна. Отговорът на този въпрос е също положително.
Вариант на този проблем беше предложена в една от московските Математически олимпиади В следващия комикс форма. Ексцентричната - сладкарски печени торта (и торта, за разлика от лоста, горната страна е покрита с крем) във форма едностранно триъгълник. И кутия, направена на утайка, но по невнимание това залепени неправилно, така че полето за торта и са симетрични една на друга (фиг. 4). Имаме нужда (ако е възможно икономически), нарязани на тортата на парчета, които са могли да бъдат поставени в тази кутийка. Разбира се, тортата не може да бъде предвидена сметана.
интересен резултат, свързан с налагат допълнителни изисквания на местоположението на части, се получава през 1952 г., швейцарските математиците и Hadwiger G. P. Glyurom: equidecomposability две равни полигони да бъдат определени с помощта на прегради, в които съответните части имат успоредни страни. На пръв поглед, изглежда неправдоподобно дори трудно да се повярва, че две равни триъгълници, въртят един спрямо друг в произволен ъгъл (Фигура 5.), Вие винаги може да бъде разделена на две равни части с успоредни страни съответно. Въпреки това, има дял от тези триъгълници, че части, за които се разбиват триъгълник, получени от съответните части на втория триъгълник паралелни преводи или централни симетриите. Същото се отнася и за всеки две полигони с еднаква площ. Въпреки това, някои части само паралелни преводи не успяват. Така например, без значение колко сме отрязани успоредник на части, не е възможно да се направи паралелни преводи на частите на триъгълника.