проективна пространство

- Уикипедия, свободната енциклопедия

Projective пространство над терена $K$ - пространство, състояща се от директен (едномерен подпространство) на линейна пространство $L\; (К)$ над дадена област. директен пространство $L\; (К)$ нарича точки на проективното пространство. Това определение е податлив на обобщение на произволно тяло $К.$

ако $L$ Той има измерение $п\; +\; 1$, измерение на проективната пространство е броят $п$, и себе си проективна пространство е означен $KP\; ^\; п$ и казва, че се свързва с $L$ (За тази точка, означението $P\; (L)$).

Преходът от вектор пространство $L\; (К)$ размерност $п\; +\; 1$ съответното проективна пространство $KP\; ^\; п$ Той призова projectivization пространство $L\; (К)$.

точки $KP\; ^\; п$ Тя може да бъде описан с помощта на хомогенни координати.

Определя като отношение между

(Λx0. Λxn). където λ е различна от нула, получаваме коефициент (относителна равностойност

Точка на проективната пространство се наричат ​​[x0. : Xn] където номера XI се наричат ​​хомогенни координати [1]. Например, [1 2 3] и [2: 4: 6] представлява една и съща точка на проективна пространство.

аксиоматична дефиниция

Проективното пространство може да се определя от аксиоми на Хилберт тип система. В този случай, проективна пространство се определя като система, състояща се от множество точки за P. набор от линии L и I. честота връзка обикновено изразени с думите "точка се намира на една права линия", отговарящи на следните аксиоми:

• За всеки две различни точки има уникална линия инцидент с двете точки;
• Всеки ред е инцидент с най-малко три точки;
• Ако линии L и М пресичат (са инцидент в обща точка), точка Р и Q лежат на една линия L. буква т и г - по права линия М. PS и QR пресичат.

Подпространството на проективна пространство е подмножество на множеството P. Т така, че за всеки $Р,\; Q\; \backslash \; в\; P$ тази подгрупа от всички преки точка $PQ$ Той принадлежи към проективна пространство Т. измерение Р е най-големият брой н. такова, че съществува строго увеличават подпространства тип верига

$\backslash \; Varnothing\; =\; X\_\; \backslash \; подгрупа\; X\_\; \backslash \; подгрупа\; \backslash \; cdots\; X\_\; =\; P.$

класификация

• Измерението 0: пространство се състои от една точка.
• Размер 1: произволно не е празен набор от точки и една единствена права линия, на която лежи на всички тези точки.
• Размери 2 (проективна равнина): в този случай класификацията е по-сложно. Всички видове самолети $KP\; ^\; п$ за някои тяло $K$ задоволи аксиомата на Desargues. обаче, има и не-Desarguesian равнина (Eng.).
• Голям измерение: Според теорема Veblena - Jung, [2], всеки проективна пространство на размер по-голям от два може да бъде получена като projectivization модул върху тялото.

Свързани определения и свойства

• нека $М$ е hyperplane в линеен пространство $L$. проективна пространство $Р\; (М)\; \backslash \; подгрупа\; P\; (L)$ Той призова проективна hyperplane в $P\; (L)$.
• На комплемента на проективната hyperplane $А\; =\; P\; (L)\; \backslash \; наклонена\; черта\; P\; (М)$ Има естествена структура на пространството афинния.
• От друга страна, въз основа на пространството за афинния $А$ може да бъде получен като афинно проективна пространство, към което се добавя т. н. точката, в безкрайността. Първоначално проективна пространство и е въведена по този начин.
• нека $Р\; (L\; \text{'})$ и $P\; (L)$ - две проективна подпространство. много $P\; (L\; \text{'}+\; L)$ Той призова проективна корпуса на $P\; (L\; \text{'})\; \backslash \; чаша\; P\; (L)$ и е означен $P\; (L\; \text{'}+\; L)\; =\; \backslash \; Номера)>$. [3]

тавтологичен сноп

тавтологичен сноп $\backslash \; Gamma\; ^\; п:\; E\; \backslash \; да\; \backslash \; mathbbP\; ^\; п$ Тя се нарича вектор пакет. сноп пространство, което е подмножество на директен продукт $\backslash \; Mathbb\; P\; ^\; п\; \backslash \; пъти\; \backslash \; mathbb\; ^$

слой - реалната линия $\backslash \; Mathbb\; R$. В каноничен проекция $\backslash \; Gamma\; ^\; п$ Тя представлява права линия, минаваща през точките $\backslash \; Pm\; х\; \backslash \; в\; \backslash \; mathbb\; ^$, съответната точка на проективна пространство. при $п\; \backslash \; GEQ\; 1$ Това разделяне не е тривиално. при $п\; =\; 1$ сноп пространство е лента на Мьобиус.

бележки

литература