Проблеми на паралелна равнина, перпендикулярна, преминават в една точка

Нека двете равнини и определя общите уравнения и.

Въпросът за определяне на ъгъла между тях се намалява до определяне на ъгъла между нормалните вектори да ги

От дефиницията на скаларното продукт и експресия в координатите и дължините на векторите и тяхната точка продукт получи

Условия за успоредни равнини и се равнява на състоянието на колинеарност вектори и се състои от координатите на тези вектори пропорционалност:

Условия перпендикулярни равнини, както и могат да бъдат изразени с равенство на нула на скаларната продукт на вектори нормално да ги:

Пример 1. За да се установи дали две паралелни равнини, едната от които се дава с уравнението, а другият - уравнението.

Решение. Ние образуват коефициентите на равнина уравнение:

Тъй като коефициентите са пропорционални, следователно две паралелни данни равнина.

Пример 2. За да се определи дали една равнина, перпендикулярна определя от уравнения и.

Решение. Равнина, перпендикулярна на случая, когато векторите и нормалните са перпендикулярни на тях и отговарят им изчезване на скаларен продукт. Тъй като горното условие е изпълнено, и следователно, перпендикулярна на равнината на данните.

Необходимо и достатъчно условие, че трите равнини имат само една обща точка (т.е. пресичат в тази точка) е нула състояние неравенство детерминанта на коефициентите на уравненията:

Това състояние съвпада с условието, че системата от линейни уравнения има един уникален разтвор (следния линк можете да видите на илюстрацията в самолета само един пример).

В обръщение към общите нива на системата (ако има такъв и е уникален), и дава на точката на пресичане на трите равнини.

Пример 3. За да се определи дали трите равнини се пресичат в една точка, когато преминава, за да намерите точката на пресичане. Равнината, определена от уравненията:

Решение. Първо, ние проверяваме дали условието е изпълнено пресечни самолети в една точка. За да направите това, дали нула детерминантата на системата е различна:

Детерминанта е различно от нула, и следователно системата от уравнения има уникален разтвор, което означава, че трите равнини се пресичат в една точка.

За да намерите този момент продължаваме да решим система от уравнения с Креймър. Бързо напред постоянни условия в дясната страна на уравненията:

Намерете най-детерминанти на неизвестните:

Лесно е да се забележи, че по правило Крамър (детерминантата на неизвестен разделение като определящ фактор) всички бяха непознати за един. По този начин, ние имаме пресечна точка на три равнини:

Пример 4. За да се установи дали трите равнини се пресичат в една точка, когато преминава, за да намерите точката на пресичане. Равнината, определена от уравненията:

Решение. Проверете дали самолетите се пресичат в една точка. За да направите това, ние се изчисли детерминантата на системата:

В детерминанта е нула, следователно, тези три равнини се пресичат в една точка.

Нека там да се дава една точка и равнина. Тогава уравнението на равнината, минаваща през точка и успоредна на тази равнина има формата

Пример 5. Създаване на уравнение на равнина, минаваща през точка (3, -5, 1). и успоредна на равнината.

Решение. Заместването на формулата, дадена в теоретичната sravke на тази глава, точката на данни и друга равнина. получаваме:

Последното е желания уравнението на равнината, минаваща през точка и успоредна на тази равнина.