Пермутации и заместване
Пермутации и заместване.
Методи за изчисляване на детерминанти п-ти ред.
Да предположим, че са дадени подреден набор от наш елементи. Всеки режим на п елементи в определен ред нарича пермутация на тези елементи.
Тъй като всеки елемент се определя от номер, тогава се каже, че даден N числа.
Броят на различните пермутации на N числа, равни н!
Ако една пермутация на п номера редица аз стои пред й. но аз> й. т. е. по-голям брой малки означава преди, след това да кажем, че двойката аз. й е инверсия.
Пример 1. За да се определи броят на инверсии в пермутация (1, 5, 4, 3, 2)
Номерата 5 и 4, 5 и 3, 5 и 2, 4 и 3, 4 и 2, 2 и 3 представляват инверсия. Общият брой на инверсиите в пермутацията е равна на 6.
Пермутации се нарича още. ако общият брой на инверсиите в него дори, в противен случай той се нарича странно. В горния пример даден chotnaya пермутация.
Да предположим, че са дадени пермутация ..., аз. ..., к. ... (*). Трансформация в който аз и й се разменят, а останалите остават на местата си, наречена транспониране. След въвеждането на номера и Й в пермутацията (*) ще внесе промени ..., к. ..., аз. ... където всички елементи с изключение аз и й. Те останаха на местата си.
По всяка пермутация на п номера, можете да отидете и да е друга пермутация от тези номера само с няколко размествания.
Всеки транспониране променя паритет пермутация.
Когато n≥ 2 странно и дори брой пермутации на п числа еднакви и равни.
Нека M - подреден набор от наш елементи. Всяко биективен трансформация множество podstanovkoyn нарича M-та степен.
Опция изписва така: когато ик. ИК и всички са различни.
Смяна нарича вечерта. ако и двете му ред (пермутация) има същото паритет, т. е. или както вечерта или и двете нечетен. В противен случай, смяната се нарича странно.
Когато n≥ 2 странно и дори брой пермутации н-та степен на едни и същи и са равни.
Детерминанта на квадратна матрица А = Втора цел е число, равно на = a11a22-a12a21.
Определящо на матрицата се нарича още един фактор. За детерминантата на матрицата А с използване на следните означения: Det А, # 916; A.
Opredelitelemkvadratnoymatritsy A = третия ред е броят равна на # 9474, A # 9474 = a11a22a33 + + a12a23a31 a21a13a32 # 8209; a13a22a31 # 8209; a21a12a33 # 8209; a32a23a11
Всеки термин алгебрична сума от дясната страна на последното уравнение представлява продукт на елементите на матрицата, взети един по един и само един от всяка колона и всеки ред. За определяне на знака на продукта е полезно да се знае правило (наречена правилото на триъгълника), схематично показано на Фигура 1:
Пример 2. Изчислява се детерминанта на третия ред по отношение на правилото за триъгълник
Нека A - матрица на п-тия ред със сложни елементи:
Да разгледаме всички продукти на елементите на матрицата А, взети един от всеки ред и всяка колона (1). Тези работи ще бъдат поканени членовете на определящ фактор. За всеки елемент (1) образуване на пермутация (2).
Детерминанта п-ти ред, или детерминантата на квадратна матрица А = (Aij) когато п> 1, се нарича алгебрична сума на всички продукти от формата (1). Освен това, продуктът от (1) се смесва със знак "+", ако съответното заместване (2), дори и със знака "# 8209;" ако пермутация е нечетен.
Мала MIJ елемент Aij детерминанта е детерминантата получен от източник с анулиране и jth ред и jth колона.
1. детерминанта не се променя чрез замяна на всички редове, съответстващи колони (определител не променя транспонирането).
2. Когато се движи на два реда (колони) промени определящи подписват.
3. детерминанта с две идентични (пропорционално) линии (колони) равни на нула.
4. Общото при елементи ред (колона) фактор може да се приема като знак на определящ фактор.
5. определител не се променя, ако елементите на един ред (колона), за да се добавят съответните елементи на друг ред (колона), умножена по същия номер, различен от нула.
6. Ако всички елементи на един ред (колона) на детерминанта е нула, е равна на нула.
7. детерминанта е сума от продуктите от елементи на всеки ред (колона) от техните кофактори (разлагане имот определящи по ред (колона)).
Помислете за някои от методите за изчисляване на детерминанти poryadkan.
1. Ако детерминанта п-ти ред, въпреки че един ред (или колона) се състоят от нули, детерминантата е нула.
2. Да предположим, че детерминантата на п-ти за някои низ съдържа ненулеви елементи. Изчисляване на детерминанта на п-тия ред могат да бъдат намалени в този случай за изчисляване на фактор за цел п-1. Всъщност, като се използват свойствата на детерминанта, е възможно всички елементи на всеки ред, но един, да направи нули, а след това разширяване на детерминанта по определен ред. Например, пренареждане редовете и колоните на определящ фактор, така че A11 на място е различна от нула елемент.
След първата колона се умножава по и се добавя към втория, а след това на първата колона, умножена по добавяме една трета, и така нататък. Г. Вземете определящ фактор за формата
Имайте предвид, че пренаредите редове (или колони) не се изисква. Можете да получите нули във всеки ред (или колона) на определящ фактор.
Общ метод за изчисляване детерминанти на наш ред не съществува, освен за изчисляване на детерминанта предварително определен ред пряко по дефиниция. За да са определящи за специален вид, различни методи за изчисление води до опростяване на детерминанти.
3. Даваме триъгълна форма. Използване на свойствата на детерминанта, той представя т.нар триъгълна форма, когато всички елементи, намиращи се върху едната страна на главния диагонал са нула. Полученият детерминанта е продукт на триъгълните елементи форма на главната диагонала. Ако предпочитате да получите нула от едната страна на вторичния диагонал, тя ще бъде равна на произведението на елементите на вторичния диагонал, заснети с този знак. Всъщност, a1n на продукта, a2n-1, ..., AN1 на детерминанта е член и го определя знак (-1) S, където S - брой на инверсии в пермутация (N, N-1, п-2, ..., 2, 1). Следователно, е = N-1 + п-2 + ... + 1 =.
Пример 3. Изчисли определящ разлагане на ред
Разширяваме определящ фактор по първа линия:
Пример 4. Изчислява се четвърти определителят за
1-ви път (изчисляване на определящ фактор, като го сведе до триъгълна форма):
Представяме детерминанта с триъгълна форма, умножаване на първия ред последователно (# 8209; 1), 1, (8209 2 #), и съответно сгънат от второто, третото и четвъртото редове.
Второ метод (изчисляване на детерминанта чрез разлагане на линията):
Нека да се изчисли определящ фактор за разширяване на линията, след преобразуването му, така че някои от своята линия на всички елементи с изключение на една обърна към нула. За да направите това, добавете първия ред на третия определящ фактор. След това умножете третата колона на (8209 # 5) и се добавят с четвъртата колона. Преобразен детерминанта се разширява в третия ред. Мала трети ред води до триъгълна форма по отношение на основната диагонала.
Пример 5. Изчисли определящ п-тия ред
Изваждане на втория от първия ред, от втората - .. и т.н. Третият и най-накрая, последният от предпоследната (последния ред остава непроменена).
последния ред елементи представени като сумата от два термина 0 + 1, 0 + 1, ..., 0 + 1 (п-1) 1. Прилагането на собственост (добавка), ние имаме
Първият фактор в количество - триъгълна форма по отношение на главния диагонал, така че е равна на произведението на диагоналните елементи, т.е. (N-1) п ... Вторият определящ фактор в размер на трансформация, добавяйки, на последния ред на всички предишния ред на детерминантата. Така полученият трансформация детерминанта е триъгълна форма по отношение на главния диагонал, така че ще бъде равна на произведението на диагоналните елементи, т.е. NN-1 ..:
4. Изчисляване детерминанта с помощта на Лаплас теорема. Ако детерминанта разпределят к редове (или колони) (1 £ к £ п-1), определящ фактор е равен на сумата на продукти от всички непълнолетни к-тия ред, разположен в избраните к редове (или колони) за техните кофактори.
Пример 6. Изчисли определител
Детерминантата десет непълнолетни от втори ред, подредени в второто и петото линии, но само три от тях са не-нула. Ето защо, определящ фактор е удобен за разширяване на втория и петия редове: