Парабола - лекции - линейната алгебра и геометрия - глава

3.10. парабола

Парабола е множеството от точки в равнината, за всеки от които разстоянието до този момент (наречена фокус) е равна на разстоянието от тази права линия (наречена директриса).

P
Уст F - фокус, л - директриса на парабола, P - разстоянието от F на фокуса към директриса л (наречена rparametrom парабола). Ние извлече уравнение на парабола.

Ние избираме 0x ос, така че да минава през фокуса F перпендикулярно л. и координатната система се намира в средата на перпендикуляра от F до L (фиг. 3.25). Тогава координатите на F на фокусиране (0), както е описано от уравнение директриса.

Нека М (. Х у) - произволна точка на парабола, а след това, по дефиниция парабола MN разстояние от М до L е разстоянието от М до MF фокус (MF = MN):

Повишаване на двете страни на това уравнение на площада, получаваме :. След опростяване намираме:

- каноничната уравнение на парабола.

Според уравнение (3.20) изследваме свойствата на параболата и да го направи. От години в степента на равенство (3,20), която е симетрична по отношение на параболата ос 0x. Параболата преминава през началото, като х = 0 и у = 0 удовлетворява уравнението (3.20). Освен това, х 0 (от р> 0), и следователно параболата се намира на дясната ос 0y. През първото тримесечие на параболата е определена в уравнението, където ние виждаме, че х се увеличава с нарастването и. Използване на симетрия на параболата това, изобразяваща (фиг. 3.26).

Имайте предвид, че уравнението за отрицателен стр също определя парабола, който ще се намира в ляво на оста 0y (фиг. 3.27). Уравнението описва парабола симетричен по отношение на 0y на ос. 0x ос, разположена по-горе, ако р> 0 0x ос и разположена по-долу в р <0.

Пример 3.10. Намерете уравнението на параболата, която е симетрична около 0x на ос. преминава през началото и точка М (1, 4).

Решение. Уравнението на параболата е дадено, е необходимо да се намери само на параметъра р. Координатите на точка М (1, 4) отговарят на това уравнение, така

, къде. Получаваме - уравнението на параболата е необходимо.

Помислете общо второ уравнение ред:

Получихме квадратна функция (квадратно трином), преминете към обичайния нотацията :. От училище математиката е известно, че график квадратното полином (3.21) е парабола с връх в точката на M0 (,), с ос на симетрия успоредна 0y на оста (тя се превръща чрез изолиране пълни квадрати).
^

3.11. Опростяване на общото уравнение на втората крива поръчка

Взехме под внимание четири типа криви от втори ред: кръг, елипса, парабола и хипербола. Като се има предвид общата второто уравнение ред:

отсъствие ^ член Bxy (случай изследван за B = 0), видяхме, че това уравнение при различни съотношения между коефициентите A. D. Е може да се опише всяка една от тези четири криви, или точка или двойка пресичащи се линии или не определя нищо. Освен горните случаи, уравнение (3.17) могат да определят други две паралелни линии или единична линия (например, уравнението дефинира права линия).

Сега предполагам, че уравнението (3.17) съдържа термин с XY на продукта (т.е. 0). Ние показваме, че е възможно чрез извършване на ротация на координатната система, да се премести в новите координати, така че уравнението (3.17) в новите координати няма да съдържа условия с продукти от XY координати.

Ако новата система произлиза от стар 0XY 0hu завъртане под ъгъл, на прехода от старите към новите координати се извършва по формулите:

Чрез заместване х. във формули (3.22) в уравнение (3.17) условията Dx и Ey даде само първата степен на X и Y. Следователно, трансформиране на сумата:

Коефициент на трансформация, XY:

Ние избираме на ъгъла на завъртане, така че този коефициент е нула:

Той винаги е възможно. В действителност, когато С = А ще следователно при следователно

По този начин, чрез завъртане на координатната система, ние открихме, че в новите координати уравнението (3.17) не съдържа член с координатите на продукт XY. Отбелязването допълнителни добра площади, намаляваме уравнението за канонична форма.

Известно е, че уравнение (3.17) може да се опише само линия, изброени по-горе.